Математическое ожидание

Случайные величины

Тема 1. Закон распределения случайной величины

Одним из важнейших понятий теории вероятностей наряду со случайным событием является понятие случайной величины.

Определение. Случайной величиной называется величина, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, причем заранее неизвестное, зависящее от случайных причин.

Случайные величины обозначают, как правило, заглавными латинскими буквами: X, Y, Z..., а их возможные значения обозначают соответственно малыми буквами: x ₁, x ₂, x ₃,…, y ₁, y ₂, y ₃,…, z ₁, z ₂, z ₃,….

Пример 1.

При бросании игральной кости случайная величина “Количество выпавших очков” может принять значение 1, 2, 3, 4, 5 или 6.

Пример 2.

Число мальчиков из 100 новорожденных это случайная величина, а ее возможные значения 0, 1, 2,…, 100.

Пример 3.

Расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле, – это случайная величина. Возможных значений этой величины бесконечно много.

Пример 4.

Продолжительность жизни человека – это случайная величина, которая также как и в предыдущем примере имеет бесконечно много возможных значений.

Случайные величины делятся на два вида: дискретные и непрерывные.

Определение. Случайная величина называется дискретной (сокращенно: ДСВ), если она принимает отдельные, изолированные друг от друга значения.

Определение. Случайная величина называется непрерывной (сокращенно: НСВ), если она может принимать любые значения из некоторого промежутка.

Случайные величины примеров 1 и 2 – дискретные, а примеров 3 и 4 – непрерывные.

Для полного описания СВ недостаточно знать лишь ее возможные значения, необходимо знать еще вероятности этих значений.

Определение. Любое правило (таблица, функция, график), задающее соответствие между отдельными значениями случайной величины и их вероятностями, называется законом распределения случайной величины.

Тема 2. Дискретные случайные величины

Закон распределения ДСВ можно задать различными способами:

1) При табличном задании закона распределения ДСВ первая строка таблицы содержит возможные значения случайной величины (обычно в порядке возрастания), а вторая – их вероятности.

Итак, закон распределения ДСВ X может быть задан в виде таблицы, где перечислены всевозможные значения этой случайной величины x ₁, x ₂,…, x_n,... с соответствующими вероятностями p ₁, p ₂,…, p_n,...:

X	x ₁	x ₂	...	x_n	...
P	p ₁	p ₂	...	p_n	...

Так как события { X = x ₁}, { X = x ₂},..., { X = x_n },... несовместны и образуют полную группу событий, то сумма их вероятностей равна 1:

2) Закон распределения ДСВ можно задать графически, если на оси абсцисс отложить возможные значения СВ, а на оси ординат – вероятности этих значений. Ломаную, соединяющую последовательно точки (x ₁, p ₁), (x ₂, p ₂),… называют многоугольником (или полигоном) распределения.

3) При аналитическом задании закона распределения ДСВ закон задаётся с помощью, функции распределения, которую мы рассмотрим подробнее позже.

Тема 3. Числовые характеристики случайных величин

Закон распределения полностью характеризует случайную величину.

Однако при решении многих практических задач удобно знать числовые параметры, характеризующие существенные свойства (черты) закона распределения СВ. Такие числа принято называть числовыми характеристиками СВ.

Числовые характеристики можно также использовать для сравнения случайных величин.

Основными числовыми характеристиками СВ являются математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение.

Математическое ожидание

Прежде всего, интерес представляет числовое значение, около которого по преимуществу группируются возможные значения случайной величины. Это «среднее взвешенное» возможных значений случайной величины с учетом их вероятностей.

Определение. Математическим ожиданием ДСВ X называется число, равное сумме произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности этих значений.

Обозначения: MX, M (X).

Для дискретной случайной величины X, заданной законом распределения