Методика изучения геометрического материала

В курсе математики начальной школы геометрический материал излагается фрагментарно и не представляет собой систему. Чтобы ввести школьника в мир геометрии на основе рассмотрения окружающего мира, необходимо учить его при восприятии предметов выделять и абстрагировать их геометрические свойства, видеть в них модели геометрических объектов, т.е. создавать геометрические образы. Именно они являются основой геометрических понятий. При этом важным является вопрос: «С каких фигур надо начинать изучение геометрии?»

В соответствии с государственными образовательными стандартами, в начальной школе, существующими программами обучения происходит процесс накопления геометрических представлений и формируются такие геометрические понятия как точка, прямая линия, отрезок, ломаная линия; угол, виды углов (прямой, тупой, острый); формируются представления о геометрических фигурах (треугольник, многоугольник); рассматриваются виды треугольников по углам (прямоугольный, остроугольный, тупоугольный), по сторонам (разносторонний, равнобедренный, равносторонний); четырехугольник; круг, окружность и их элементы.

Наряду с перечисленными геометрическими понятиями, которые рассматриваются в традиционной системе обучения математики, существует и альтернативный, повышенный уровень изучения геометрических представлений. В некоторых вариативных курсах математики дополнительно рассматриваются трехмерные объемные геометрические тела: конус, усеченный конус, цилиндр, призма, пирамида и их развертки, шар, а также некоторые элементы объемных тел: ребро, поверхность, грань, вершина.

В начальной школе у учащихся формируются обобщенные представления или образы- понятия. Сформированность геометрического понятия предполагает умение рассматривать его в системе понятий, а также владение кванторами и законами логики, что возможно только в основной школе и требует определенной логической подготовки младших школьников. Поэтому, согласно принципу природосообразности, разумно предлагать учащимся не определения, а описания понятий, которые направлены на создание геометрических образов.

При изучении геометрического материала в начальной школе, большое внимание следует уделить пространственному мышлению, т.к. в средней школе пространственное мышление является основой изучения геометрии.

Заботясь о развитии ребенка при изучении геометрии, учитывая естественное развитие, целесообразно организовывать процесс обучения геометрии через реализацию следующих этапов:

- актуализация знаний;

- введение понятия;

- получение модели, если это возможно;

- некоторые свойства геометрических фигур;

- связи с ранее изученными понятиями;

- применение знаний в различных ситуациях.

Первым этапом формирования геометрических представлений пространственных фигур – восприятие геометрических фигур как целостного образа. На этапе актуализации знаний выделяем в жизненной ситуации объект определенной формы. Эту работу можно вести в следующих направлениях:

a) Сравнение различных реальных предметов и выделение групп предметов, сходных по форме.

Например, учащимся можно предложить такой набор: мяч, банка, круглый карандаш, яблоко, кусок трубы, круглый воздушный шар. Эти предметы нужно разделить на две группы по какому-либо признаку. Среди предложенных решений (а их может быть много, так как дети могут ориентироваться на разные признаки - размер, массу, цвет, прозрачность и т.д.) учитель обращает особое внимание учеников на тот вариант, когда предметы объединены по форме. Это связано с тем, что при занятиях геометрией всегда большое внимание уделяется именно форме рассматриваемых фигур.

b) Подбор других подходящих по форме предметов к выделенным группам.

Эта часть работы может происходить в классе с реальным набором предметов или с их названиями, либо может быть использована и дана в качестве домашнего поручения – найти подходящие по форме предметы среди игрушек или предметов домашнего обихода.

c) Сравнение выделенных по сходству формы предметов с моделями объемных геометрических фигур и выбор соответствующих моделей, знакомство с названиями выбранных моделей.

Так, в результате выполнения задания, приведенного выше, дети выделят две группы вещей, сходных по форме: мяч, яблоко и воздушный шар; банка, карандаш, труба. Учитель показывает несколько моделей - конус, шар, призму, цилиндр - и предлагает выбрать те, которые по форме больше всего подходят к выделенным группам. После чего вводятся названия соответствующих геометрических фигур - шар, цилиндр. Прежде чем сообщить соответствующий термин выбранных моделей, необходимо поинтересоваться у учащихся, не знает ли эти фигуры кто-нибудь из учеников, какое название можно дать этой фигуре.

На следующем этапе вводятся понятия. Определения понятий детям не сообщаются, и соответственно от учащихся не требуется их знания. Вместе с тем по отношению к ряду понятий (например, по отношению к кубу, параллелепипед и т.д.) указываются те существенные признаки, которые фактически отражают содержание этих понятий и дают возможность выделять соответствующие фигуры из класса фигур, относящихся к ближайшему родовому понятию. При этом при подборе объектов обязательно учитывать несущественные свойства предметов, таких как размер, цвет, расположение, для того, чтобы для детей они не стали существенными. Для усвоения существенных признаков понятия целесообразно использовать такие приемы как сравнение и классификация.

Дети должны научиться практически использовать соответствующие признаки при узнавании различных фигур, их классификацию.

Следующей задачей после знакомства- это узнать, как называются элементы куба (грани, вершины, ребра) их количество.

Например, квадраты, из которых составлен куб, – это грани куба. Стороны квадратов – рёбра куба. Концы рёбер – вершины куба.

Данное направление позволит связать в единое целое объемные и плоскостные фигуры, где плоскостные фигуры выступят в своей естественной для трехмерного пространства роли - части объемного тела. Например, круг выступит как часть поверхности конуса или цилиндра, прямоугольник - как часть поверхности призмы, треугольник - пирамиды и т.д.

Следующий этап: получение модели, если это возможно.

При выполнении конструктивных заданий дети работают с различными материалами: конструктором, палочками, ленточкой, листом бумаги. Развитие пространственного мышления невозможно отделить от формирования умений мысленно представлять различные положения предмета, изменения его формы и положения в зависимости от точки зрения, различных поворотов и трансформаций, умением зафиксировать это представление на изображении. Известно, что базой для развития пространственного мышления являются пространственные представления, которые отражают соотношения и свойства реальных предметов, то есть свойства трехмерного видимого или воспринимаемого пространства.

В дальнейшем изучении дети знакомятся с различными приемами изображения на плоскости объемных предметов, создающих иллюзию объемности. Через систему заданий дети самостоятельно подходят к выводу о том, что для этого используют художники, графики, чертежники. Художники-живописцы используют для этого игру светотени или перспективу, графики - искривление линий, чертежники - ортогональную проекцию [2].

После учащиеся на основе наглядных представлений, знакомятся с понятием «часть фигуры». Можно рассмотреть вопросы:

1. назови известные нам различные части многогранников и тел вращения.

2. «отрежем» от куба некоторую часть; какими известными вам фигурами может быть эта часть?

3.  назови части плоских фигур.

Затем проводится работа по введению понятия пересечения фигур. Сначала с учащимися рассматриваются упражнения:

1.  возьмите два одинаковых куба и приложите их друг к другу так, чтобы какая-нибудь часть одного куба была одновременно частью и другого куба, т.е. была общей частью этих двух кубов; покажите случай, когда общей частью будет вершина, ребро грань, часть ребра, часть грани, точка, отрезок.

2. может ли общей частью двух кубов быть прямая, луч, плоскость?

3. с помощью моделей покажите случай, когда пересечением двух равных кубов является вершина, точка, ребро, отрезок, квадрат, грань, треугольник.

Еще одним из направлений в рассмотрении объемных фигур является сравнение моделей различных наименований. Этот материал изучается на ознакомительном уровне. Например, сравнивая модели шара, цилиндра, конуса, учащиеся находят общее для них – это способность катиться. Различия этих тел в том, что у шара нет ни вершин, ни оснований, у цилиндра – два основания, но нет вершин, у конуса – одно основание и одна вершина. Так же аналогично рассматриваются и сравниваются другие тела: пирамида и конус, пирамида и призма, цилиндр и призма и др.