Выше были рассмотрены различные формы закона больших чисел, которые, при всем своем разнообразии, утверждают одно: сходимость по вероятности тех или иных случайных величин к определенным постоянным.
Все формы центральной предельной теоремы посвящены другой аспекту — установлению условий, при которых возникает самый распространенный в случайных явлениях нормальный закон распределения. Важнейшее место занимает теорема Ляпунова.
Теорема Ляпунова [1]
Рассмотрим n независимых случайных величин , удовлетворяющих условиям:
1) все величины имеют определенные математические ожидания й конечные дисперсии ;
2)ни одна из величин не выделяется резко среди остальных по своим значениям.
Тогда при неограниченном возрастании распределение случайной величины приближается к нормальному закону.
Таким образом, имеем следующую асимптотическую формулу:
, (1.56)
где .
[1] Одна из наиболее общих форм центральной предельной теоремы была доказана русским математиком и механиком Александром Михайловичем Ляпуновым (1857-1918) в 1900 г.