Линейные дифференциальные уравнения второго порядка

 

4.1. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка (ЛОДУ-2). Определитель Вронского и его свойства

 

Общий вид

,                            (3)

где  и  непрерывные на некотором отрезке   функции.

Определение 2. Функции  и  называются линейно зависи-мыми (ЛЗ) на , если , где, по крайней мере, одно из них отличное от нуля, и для которых выполняется равенство   или, если , то , т.е.  

В противном случае, функции  и  называются линейно независимыми (ЛНЗ).

Например, функции  и  - ЛЗ, так как , а функции  и  - ЛНЗ, так как

Для выяснения ЛЗ или ЛНЗ решений уравнения (3) используется определитель Вронского

,

что следует из теорем:

Теорема 1. Если функции  и  линейно зависимы (ЛЗ) на , то определитель Вронского .

Так как , то

.

Теорема 2. Если определитель Вронского, составленный из решений уравнения (3), при некотором  отличен от нуля, т.е.   то

Так как  и  решения уравнения (3), то

Первое равенство умножим на , второе на  и сложим полученные результаты. С учётом, что

,

получим уравнение с разделяющимися переменными

Найдём его решение, удовлетворяющее начальному условию

       (4)

или 

.  

Формула (4) называется формулой Лиувилля. Из неё видно, что если

 то .

Замечание 1. Из формулы (4) также следует, что если при некотором.  

Замечание 2. По формуле Лиувилля, зная одно из решений ЛОДУ-2, можно найти другое. Разделив обе части равенства (4) на  получим

Теорема 3. Если решения ЛОДУ-2 (3) ЛНЗ на , то .

Предположим обратное, т.е.  при некотором . Тогда по теореме 2 . Предположим, что      (в противном случае определитель Вронского тождественно равен нулю), тогда имеем равенство

т.е. функции  и  линейно зависимы. Полученное противоречие доказывает теорему.

 

4.2. Теорема о структуре общего решения ЛОДУ-2

 

Теорема 4. Если функции  и  - два ЛНЗ решения уравне-ния (3), то его общее решение имеет вид , где  и  произвольные константы.

Вначале покажем, что  является решением уравнения (3), для чего подставим его в (3) и сгруппируем члены при  и :

.

Далее покажем, что для любых начальных условий вида  можно найти значения  и , при которых такое решение удовлетворяло бы им.

Подставим в эти условия , тогда получим систему для определения значений  и

.                                       (5)

с определителем Вронского

так как  и  - ЛНЗ решения уравнения (3).

Из решения системы (5) определяем  и . Таким образом,

является общим решением уравнения (3).