Решение некоторых типовых задач, рассматриваемых в аудитории

4.3.1. Найти объем тела, ограниченного конусом и плоскостями и

Решение. В сечении конуса, перпендикулярном оси , получается эллипс, который определяется уравнениями

Его полуоси равны и . Площадь, ограниченная эллипсом, равна произведению полуосей на число (см. задачу 3.3.2), поэтому .

Объем тела равен (см. п. 4.1.1)

4.3.2. Найти объем и поверхность шара радиуса , рассматривая его как тело вращения.

Решение. Будем считать, что сфера образована вращением окружности , расположенной в плоскости , вокруг оси

1. Объем шара определяем по формуле п. 4.1.2

Из уравнения окружности получаем .

2. Для нахождения площади поверхности сферы применяем формулу из п. 4.2.1: В данной задаче и , . Отсюда .

4.3.3. Найти объем тела, ограниченного трехосным эллипсоидом с полуосями, равными , , .

Решение. Каноническое уравнение эллипсоида имеет вид . Любое сечение эллипсоида плоскостью , , есть эллипс с полуосями и . Площадь фигуры, ограниченной эллипсом, равна произведению полуосей на число (см. 3.3.2), т. е. Поэтому объем, ограниченный эллипсоидом, равен (см. п. 4.1.1)

4.3.4. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной осями координат и кривой , .

Решение. Найдем точки пересечения кривой с осями координат: при ; при . Следовательно, отрезок интегрирования есть . Далее, из уравнения кривой получаем . Поэтому .

4.3.5. Фигура, ограниченная графиком функции , прямыми и , вращается вокруг оси . Найти объем получающегося тела вращения.

Решение. .

Дважды применяя метод интегрирования по частям, получим:

Окончательно, .

4.3.6. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением астроиды вокруг оси .

Решение. Зададим астроиду в параметрической форме: , . Астроида симметрична относительно координатных осей и выглядит, как кривая из примера 3.3.3 (рис.3.4), только обе ее полуоси одинаковы и равны . Верхняя и нижняя половина астроиды при вращении образуют одну и ту же поверхность, поэтому для вычисления площади достаточно рассмотреть только верхнюю половину. Более того, учитывая симметричность астроиды относительно оси , можно вычислить половину искомой площади, рассмотрев вращение ее части, расположенной в первом квадранте (при ). Пользуясь формулой п. 4.2.2, запишем:

. Следовательно, .

Замечание. Задачу можно было решить, не прибегая к параметрической форме. Дифференцируя уравнение астроиды, получаем , откуда . Далее, . Находим площадь:

Получили интеграл от дифференциального бинома (см. [1], п. 26.2.2), который вычисляется при помощи подстановки , , , . Тогда .

4.3.7. Вычислить площадь поверхности тора, образованного вращением окружности вокруг оси .

Решение. Площадь поверхности тора состоит из площади поверхности , образованной вращением верхней полуокружности , и площади поверхности , образованной вращением нижней полуокружности вокруг оси . Отрезок интегрирования . По формуле п. 4.2.1 запишем

. Учтем, что . Отсюда .

4.3.8. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением кардиоиды () вокруг полярного луча.

Решение. Косинус – четная функция, поэтому ось полярной системы координат является осью симметрии кардиоиды (рис. 4.1).

Рис. 4.1

Ее верхняя и нижняя половины при вращении описывают одну и ту же поверхность, поэтому пределы интегрирования в формуле п. 4.2.3 выберем и , что соответствует верхней половине кардиоиды. Далее:

; . При и . Теперь запишем интеграл: .

Задачи для самостоятельного решения

4.4.1. Вычислить объем шарового слоя, вырезанного из шара плоскостями и .

4.4.2. Вычислить объем тела, ограниченного однополостным гиперболоидом и плоскостями и .

4.4.3. Вычислить объем тела, ограниченного эллиптическим параболоидом и плоскостью ().

4.4.4. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями , , , , вокруг оси .

4.4.5. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями , , вокруг оси .

4.4.6. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси дуги кривой от до .

4.4.7. Вычислить объем и площадь поверхности тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями () и , вокруг оси .

4.4.8. Вычислить объем и площадь поверхности тела, образованного вращением фигуры, ограниченной первой аркой циклоиды , и осью абсцисс, вокруг этой оси.