1. Якщо - диференційовна функція змінних , які самі є диференційовними функціями незалежної змінної t:
то похідна складної функції обчислюється за формулою
(2. 8)
Зокрема, для функції двох змінних u=f(x,y) де , ,
Маємо
(1. 9.1)
2.Якщо - диференційовна функція змінних ,де , …, -диференційовні функції змінної x1 ,то маємо формулу повної похідної
(1.9.2)
крема, для функції трьох змінних u=f(x,y,z),де у = у(х), г = г(х), маємо формулу повної похідної
(1.9.3)
З. Якщо де xi = -диференційовані функції змінних tj , .
(1.9.4)
Зокрема, для функції двох змінних z=f(x,y),де ), маємо
(1.9.5)
Приклад 7. Знайти наближене значення функції
В точці М1(1,03 1,97).
Розв`язання. Потрібне значення заданої функції знайдено за формулою (6), Нехай М0(1,2), тоді
Підставимо ці значення у формулу (6), що одержимо.
Z(M)=13+6*0,03+14(-0,03)=13+0,18- 0,42=12,76
5 |
Похідна за напрямом.Похідною функції u = f(x,y,z) заданим напрямом в точці M0 називається границя , яка начинається або Тут
Отже, за означенням = .
Якщо функція диференційована,то має місце формула
де -напрямлені косинуси вектора
Аналогічно визначається похідна за напрямком для функцій двох змінних
z=f(x,y)
де -напрямлені косинуси вектора .
Похідна за напрямком характеризує швидкість зміни функції за даним напрямком.
Градієнт функції u=f(x,y,z) називається вектор,проекціями якого на координатні осі є відповідні частинні похідні даної функції
Для функцій двох змінних u=f(x,y)
.
Градієнт вказує напрямок найшвидшого зростання функції в даній точці.
Похідна у напрямі градієнта має найбільше значення,тобто у напрямі =grad u:
Градієнт функції в кожній точці направлений по нормалі до відповідної поверхні рівня (лінії рівня).
6 |
Диференціювання неявних функцій
1. Неявні функції однієї та багатьох змінних
Нехай функція задана неявно рівнянням
,
Де F диференційовна функція змінних ,u. Тоді частинні похідні функції U по змінних обчислюються за формулами
(1.9.6)
Зокрема, якщо функція y=y(x) задано рівнянням
F(x,y)
Де F-диференційована функція змінних x,y,то
(1.9.7)
Аналогічно,частинні похідні функції z= заданої неявно рівнянням
F(x,y,z)=0
де F(x,y,z)-диференційована функція змінних x,y,z обчислюється за формулами:
(1.9.8)
2. Система неявних функцій
Обмежимось розгляданням функцій двох незалежних змінних.
Нехай система двох рівнянь
Визначає u і v як диференційовані функції змінних x і y якобіан
Тоді диференціали du і dv цих функцій (а отже і частинні похідні) можна знайти з системи рівнянь
Диференціювання параметрично заданих функцій
Нехай функція z незалежних змінних x i y задана параметричними рівняннями
x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v),
то
Тоді диференціал dz цієї функції (а отже, і частинні похідні)можна знайти з системи рівнянь
Знаючи диференціал dz = pdx+qdy, знаходимо частинні похідні
і .
34