Пусть непрерывна на , – ее первообразная. Тогда .
Док-во: пусть – произвольная первообразная. Рассмотрим – также первообразная. Тогда . Возьмем . Т.к. , то , т.е. . При : или :
Пример.
.
Вычисление определенного интеграла подстановкой и по частям. Интегрирование четных и нечетных функций на отрезке, симметричном относительно начала координат, интегрирование периодических функций.
Пусть непрерывна на , функция имеет непрерывную производную на , причем . Тогда .
Док-во: пусть –первообразная для на , т.е. . Тогда по формуле Ньютона-Лейбница: . Функция – первообразная для , по формуле Ньютона-Лейбница:
Пример.
Интегрирование по частям в определенном интеграле.
Пусть функции и имеют непрерывные производные на [ .
Тогда , т.е.
Док-во: , т.е.
Пример.
Интегрирование четных и нечетных функций на отрезке, симметричном относительно начала координат
Рис. 6
|
|
Теорема. Пусть интегрируема на , тогда:
1. Если – четная, то .
2. Если – нечетная, то .
Док-во: (по свойству аддитивности) (см. рис. 6).
– для четной функции,
– для нечетной функции.
Пример.
Интегрирование периодических функций.
Рис. 7 |
(см. рис. 7).
Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода, их свойства. Признаки сходимости. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов.
Несобственные интегралы 1-го рода
Пусть определена на и интегрируема на любом отрезке вида . Зафиксируем и рассмотрим определенный интеграл .
Опр. Несобственным интегралом 1 рода функции от до называется предел при определенного интеграла от до :
Рис. 8 |
Геометрический смысл – площадь бесконечной фигуры, ограниченной линиями (см. рис. 8).
Рис. 9 |
(см. рис. 9).
Свойство линейности.
Если , сходятся, то сходятся интегралы
.
Аналогично для .