Пусть – линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами. Рассмотрим ЛНДУ:
– квазимногочлен;
– многочлен степени ;
Тогда частное решение ЛНДУ (2.12.1) вида
,
– многочлен степени ; , если не является корнем характеристического уравнения соответствующего ЛОДУ; если – корень, то равен кратности корня .
Замечание. Коэффициентыв - неопределенные (заранее не неизвестные), находятся методом неопределенных коэффициентов.
Пример 1.
Соответствующее ЛОДУ: ,
Найдем .
;
– корень характеристического уравнения ЛОДУ кратности
,
,
,
Чтобы найти и , подствим функцию в ЛНДУ:
,
,
,
.
Коэффициент при 2
Коэффициент при .
Получаем СЛАУ относительно и
Рассмотрим ЛНДУ с постоянными коэффициентами
– многочлен степени ;
– многочлен степени ;
Тогда
; – многочлены степени ;
, если не является корнем характеристического уравнения соответствующего ЛОДУ; равен кратности корня, если является корнем.
Пример 1.
|
|
( уравнение колебаний при наличии внешней периодической силы частоты ).
.
,
,
,
.
.
Найдем .
,
( частота внешней силы равна собственной частоте резонанс, амплитуда колебаний неограниченно возрастает ).
Чтобы найти и , подставим в ЛНДУ:
.
Коэффициент при
Коэффициент при
Пример 2.
,
,
,
,
,
,
Чтобы найти и , подствим в ЛНДУ:
Коэффициент при .
Коэффициент при .
2.13. Метод вариации постоянных решения неоднородных ЛДУ n-го порядка (вывод для ).
Пусть – линейный дифференциальный оператор с переменными коэффициентами. Рассмотрим ЛНДУ:
Соответствующее ЛОДУ:
Общее решение ЛОДУ:
.
– ФСР ЛОДУ,
– произвольные постоянные.
Теорема. Общее решение ЛНДУ () имеет вид
,
– ФСР соответствующего ЛОДУ,
производные функций определяются из СЛАУ
Замечание 1. СЛАУ (2.13.2) имеет единственное решение для , т.к. ее определитель ().
Замечание 2. Функций
Тогда
,
– произвольные постоянные.
Док-во (случай ). Рассмотрим ЛНДУ
– линейный дифференциальный оператор 2-го порядка.
– произвольные постоянные
СЛАУ (2.13.2) имеет вид
, или
.
1. Покажем, что если и удовлетворяют (2.13.3), то функция – решение ЛНДУ (2.13.1).
в силу (2.13.3)).
в силу (2.13.3)).
Тогда
Таким образом – решение ЛНДУ (2.13.1).
2. Решив СЛАУ (2.13.3), получим решение вида
.
Покажем, что для , такие, что решение , соответствующее и , удовлетворяет начальным условиям
.
Для и получим систему
- СЛАУ с определителем , т.к. – ФСР ЛОДУ,
т.е. – общее решение.
Пример.
(метод неопределенных коэффициентов неприменим!).
|
|
Соответствующее ЛОДУ:
,
,
,
,
,
,
,
,
Нормальные системы ДУ. Задача Коши и теорема существования и единственности ее решения. Сведение ДУ n-го порядка к нормальной системе. Сведение нормальной системы к одному уравнению n-го порядка.
(2.14.1) – нормальная система ОДУ.
– независимая переменная,
– неизвестные (искомые) функции,
– определены в области .
Если не зависят явно от , то система (2.14.1) называется автономной.