Физическим маятником называется твердое тело, которое может качаться вокруг неподвижной горизонтальной оси. Точка пересечения ее А вертикальной плоскостью, проходящей через центр масс маятника, называется точкой подвеса маятника (рис. 6.3). Положение тела в каждый момент времени можно характеризовать углом отклонения его из положения равновесия . Угол играет роль обобщенной координаты q. Кинетическая энергия качающегося физического маятника определяется выражением
,
где I – момент инерции маятника относительно оси А.
Для малых колебаний потенциальная и кинетическая энергии приводятся к виду (6.14), причем . Отсюда следует, что малые колебания физического маятника будут приблизительно гармоническими с циклической частотой
(6.18)
и периодом
. (6.19)
Частным случаем физического маятника является математический маятник. Так называется маятник, вся масса которого практически сосредоточена в одной точке – в центре масс маятника С.
Рис. 6.3
Примером математического маятника может служить шарик, подвешенный на длинной нити. В случае математического маятника
|
|
,
где l – длина маятника.
Формула (6.19) переходит
. (6.20)
Сравнивая формулы (6.19) и (6.20), заключаем, что физический маятник колеблется так же, как математический маятник с длиной
, (6.21)
которая называется приведенной длиной физического маятника.
Отложим от точки подвеса А вдоль прямой А С отрезок , длина которого равна приведенной длине физического маятника l (см. рис. 6.3). Точка называется центром качания. Центр качания можно определить как математическую точку, в которой надо сосредоточить всю массу физического маятника, чтобы период его колебаний остался без изменений.
По теореме Штейнера
,
где – момент инерции маятника относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С. Подставив это выражение в формулу (6.21), придадим ей вид
. (6.22)
Отсюда следует, во-первых, что l > a, т. е. точка подвеса А и центр качания лежат по разные стороны от центра масс С и, во-вторых, что всем точкам подвеса, одинаково удаленным от центра масс маятника, соответствует одна и та же приведенная длина l, а следовательно, один и тот же период колебаний T.
Точка подвеса и центр качания являются взаимными или сопряженными точками в следующем смысле. Если маятник подвесить за центр качания , то его период не изменится и прежняя точка подвеса А сделается новым центром качания.