Дисциплина: Математика
Занятие 105. Решение задач на нахождение вероятности события.
План занятия:
1. Вероятность случайного события, свойства.
2. Решение задач на нахождение вероятности.
3. Задачи для самостоятельного решения.
Видео-материалы: https://www.youtube.com/watch?v=Rz1XqZW3zHQ
Вероятностью события А (обозначается Р(А)) называется отношение числа m благоприятствующих исходов к общему числу n элементарных исходов опыта (классическое определение вероятности): Р(А)= , где m – число элементарных событий, благоприятствующих событию А, n – число всех элементарных исходов испытания.
Пример 1. На завод привезли партию из 1000 подшипников. Случайно в эту партию попало 30 подшипников, не удовлетворяющих стандарту. Определить вероятность Р(А) того, что взятый наудачу подшипник окажется стандартным.
Решение. Число стандартных подшипников равно 1000 – 30 = 970. Будем считать, что каждый подшипник имеет одинаковую вероятность быть выбранным. Тогда полная группа событий состоит из n = 1000 равновероятных исходов, из которых событию А благоприятствуют m = 970 исходов.
|
|
Поэтому Р(А) = .
Ответ: 0,97.
Пример 2. Найдем вероятность того, что при одном бросании игральной кости (кубика) выпадает: а) три очка; б) число очков, кратное трем; в) число очков больше трех; г) число очков, не кратное трем.
Решение. Всего имеется n=6 возможных исходов: выпадение 1,2,3,4,5,6 очков. Считаем, что эти исходы равновозможны.
а) Только при одном из исходов m=1 происходит интересующее нас
событие А – выпадение трех очков. Вероятность этого события Р(А) = .
б) При двух исходах N(B) = 2 происходит событие B: выпадение числа очков кратных трем: выпадение или трех или шести очков. Вероятность такого события
Р(B) = .
в) При трех исходах m = 3 происходит событие C: выпадение числа очков больше трех: выпадение четырех, пяти или шести очков. Вероятность этого события
Р(C) = .
г) Из шести возможных выпавших чисел четыре (1, 2, 4 и 5) не кратны трем, а остальные два (3 и 6) делятся на три. Значит, интересующее нас событие D,
наступает в четырех случаях, т.е. m = 4. Вероятность такого события:.
Р(D) = .
Ответ: а) ; б) ; в) ; г) .
Для вычисления вероятности часто используют правило умножения.
Для того, чтобы найти число всех возможных исходов независимого проведения двух испытаний А и В, следует перемножить число всех исходов испытания А и число всех исходов испытания В.
Пример 3.
Найдем вероятность того, что при подбрасывании двух костей суммарное число очков окажется равным 5.
Решение. Возможно следующее сочетание очков на первой и второй костях:
1 + 4, 2 + 3, 3 + 2, 4 + 1 – четыре благоприятных случая (m = 4). Всего возможных исходов n = 6·6 = 36 (по шесть для каждой кости). Тогда вероятность рассматриваемого события Р(А) = .
|
|
Ответ: .
Вероятность Р(А) некоторого события .
При решении некоторых задач удобно использовать свойство вероятностей противоположных событий.
События А и В называются противоположными, если всякое наступление события А означает ненаступление события В, а ненаступление события А – наступление события В.
Событие, противоположное событию А, обозначают символом . Сумма вероятностей противоположных событий равна 1:
.
Пример 4.
1. Бросаем один раз игральную кость. Событие А – выпадение четного числа очков, тогда событие - выпадение нечетного числа очков.
2. В среднем из 1000 аккумуляторов, поступивших в продажу, 6 неисправны. Найдите вероятность того, что один купленный аккумулятор окажется исправным.
Решение. Элементарный исход – случайно выбранный аккумулятор. Поэтому
n = 1000.
Событию А = {аккумулятор исправен} благоприятствуют 1000 – 6 = 994 исхода.
Поэтому m = 994.
Тогда Р(А) = .
Ответ: 0,994.
Эту задачу можно решить с помощью формулы вероятности противоположного события = {аккумулятор неисправен}. Тогда m=6.
Имеем Р() = . Значит, P(A) = 1- Р() =1 – 0,006 = 0,994.
Ответ: 0,994.