Математические основы

Это можно сделать с помощью известных формул Кардано. Дискриминант этого уравнения

Если D<0, то  имеет три различных действительных корня  если D = 0, то (6.2) имеет три действительных корня, скажем, , по крайней мере два из которых равны; наконец, если D > 0, уравнение (6.2) имеет один действительный корень о п два комплексно сопряженных.

Кривая, представленная на рис. 6.2, называется сингулярной. В ее точке сингулярности (β, 0) имеются две касательные. Сингулярные кривые мы будем исключать из нашего рассмотрения. Поэтому при задании кривой с помощью параметров a и b потребуем выполнения условия D ≠ 0, что эквивалентно условию

Итак, пусть эллиптическая кривая Е задана уравнением (6,1) с ограничением па коэффициенты (6.4). Определим операцию композиции точек на кривой. Возьмем какие-либо две тючки Р = (х₁, у₁),

 и проведем через них прямую (рис. 6.4). Зтн прямая обязательно пересечет кривую в третьей точке, которую обозначим через R'. (Третья точка обязательно существует. Дело в том, что кубическое уравнение, получаемое после подстановки уравнения прямой в (6.1), имеет два действительных корня, соответствующих точкам Р и Q, следовательно, его третий корень, соответствующий R', также действителен.) Точку  получим путем изменения знака ординаты точки R'. Будем обозначать описанную операцию композиции точек следующим образом: R = Р + Q.

друг с другом и, наконец, сливаются в одну точку . Тогда композиция  будет получена путем проведения касательной в точке Р и отражения ее второго пересечения с кривой R' относительно оси абсцисс (рис. 6.5). Будем использовать следующее обозначение: R = Р + Р = [2] Р.