Пусть точка регулярной поверхности . В этой точке имеем неколлинеарные векторы , . Для любой линии выполняется
,
т.е. вектор касательной всякой линии поверхности , проходящей через точку , является линейной комбинацией векторов , - векторов касательных -линии и -линии; вектор принадлежит оболочке . Касательная прямая всякой кривой поверхности лежит в плоскости . Касательные всех линий поверхности , проходящих через точку , образуют плоскость. Получена следующая
III.3.1. ТЕОРЕМА. Регулярная поверхность в каждой своей точке обладает касательной плоскостью < . #
Пусть и производные , вычислены в точке . Тогда уравнение касательной плоскости таково
.
Прямая называется нормалью поверхности в точке . Ее уравнения:
.
III.4. ПЕРВАЯ ОСНОВНАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ПОВЕРХНОСТИ.
В произвольной точке поверхности зададим направление, выбрав , . Отношение дифференциалов
определяет направление на поверхности, имеем
.
Производная от по направлению имеет вид
|
|
.
Малое смещение по кривой на поверхности вычисляется на основании равенств
.
Отсюда получаем, вычисляя скалярный квадрат ,
. (III.4.1)
Введем обозначения:
, , . (III.4.2)
Значения этих скалярных произведений зависят от выбора точки поверхности. Выражение
. (III.4.3)
называется первой основной квадратичной формой поверхности .