Визначення реактивних ударних імпульсів в точках закріплення осі

 

Розглянемо тіло, яке може обертатися навколо осі z (рис. 20.1). Нехай АВ = l. Виберемо систему координат з початком в точці А, площину yz проведемо через центр мас С тіла. Якщо на тіло подіє ударний імпульс , то він викличе реактивні ударні імпульси  і . Для їх визначення скористаємось теоремами про зміну кількості руху центра мас і кінетичного моменту системи при ударі. При цьому

 

Рис. 20. 1.

 

                    (20.14)

де у_С - відстань центра мас тіла від осі обертання, М - маса тіла.

Враховуючи, що в даному випадку ω_x=ω_у= 0, а ω_z=ω, маємо

                       (20.15)

Підставимо всі ці значення в рівняння (20.11) і (20.13). В результаті одержимо

         (20.16)

де                           AB=l,

                                    (20.17)

 

Знайдемо, за яких умов всі реактивні ударні імпульси дорівнюють нулю, тобто удар не передається на точки закріплення осі. Якщо точки закріплення осі не зазнають удару, то

При цьому рівняння (20.16) приймають вигляд

                (20.18)

 

З другого і третього рівнянь (20.18) витікає, що для виконання умов  необхідно, щоб прикладений ударний імпульс був направлений паралельно до осі х, тобто перпендикулярно до площини yz, яка проходить через вісь обертання і центр мас тіла.

Вибираємо систему координат так, щоб ударний імпульс  лежав в координатній площині хОу (рис. 20.2). Тоді

В такому разі

                     (20.19)

                           (20.20)

З умови (20.20) видно, що вісь обертання z повинна бути для точки О головною віссю інерції.

Крім того, справедлива рівність

                        (20.21)

З рівнянь (20.19) і (20.21) маємо

(20.22)

Враховуючи, що I_z=Mρ², рівняння (20.22) перепишемо так:

(20.23)

де ρ - радіус інерції тіла.

Рис. 20. 2.

Отже, для того, щоб ударний імпульс , прикладений до тіла, що обертається

 

 

навколо нерухомої осі, не викликав реактивних ударних імпульсів в точках закріплення осі, необхідні такі умови:

1) ударний імпульс повинен бути розташований в площині хОу, перпендикулярній до осі z, що проходить через точку О тіла, для якої вісь z є головною віссю інерції;

2) ударний імпульс повинен бути перпендикулярним до площини, яка проходить через вісь обертання z і центр мас С тіла;

3) точка прикладання К ударного імпульсу повинна знаходитись від осі z на відстані, що визначається формулою (20.22) або (20.23).

Точка К, через яку при цьому проходить лінія дії ударного імпульсу, що не викликає ударних реакцій в точках закріплення осі, називається центром удару.

 

Зауваження. Для закріплення матеріалу §20 (пунктів 20.1 – 20.3) необхідно розв’язати задачі зі збірника “Мещерский И. В. Сборник задач по теоретической механике. – М., Наука, 1981 (1986)”:

1) № 44.1, 44.23;

2) № 44.20, 44.24, 44.25, 44.26;

3) № 44.27 – 44.29.

Рекомендується розв’язати також задачі № 16.1, 16.2, 16.3, 16.18, 16.23, 16.25, 16.26, 16.42, 16.44, 16.52, 16.53 зі збірника “Сборник задач по теоретической механике /Под ред. К. С. Колесникова. – М., Наука, 1989”.