2020-08-05
212
Условие канонической сопряженности можно выразить с помощью скобок Пуассона. Для этого докажем общую теорему об инвариантности скобок Пуассона по отношению к каноническим преобразованиям.
Пусть 
– скобка Пуассона величин, в которой дифференцирование производится по переменным 
и 
, 
- скобка Пуассона тех же величин, дифференцируемых по каноническим переменным 
и 
. Тогда
(9)
В справедливости этого соотношения можно убедиться прямым вычислением с использованием формул канонического преобразования. Можно, однако, обойтись и без вычислений с помощью следующего рассуждения.
Прежде всего замечаем, что в канонических преобразованиях время играет роль параметра. Поэтому, если мы докажем теорему для величин, не зависящих явно от времени, то она будет верна и в общем случае. Рассмотрим теперь чисто формальным образом величину 
как гамильтонову функцию некоторой фиктивной системы. Тогда согласно определению скобок Пуассона
|
|
|
Но производная 
есть величина, которая может зависеть лишь от свойств движения (нашей фиктивной системы) как такового, а не от того либо иного выбора переменных. Поэтому и скобка Пуассона не может измениться при переходе от одних канонических переменных к другим.
Из определения скобок Пуассона и теоремы (9) получим:
(10)
Это - записанные с помощью скобок Пуассона условия, которым должны удовлетворять новые переменные, для того чтобы преобразование было каноническим.
Интересно отметить, что изменение величин и при самом движении можно рассматривать как канонические преобразования. Смысл этого утверждения состоит в следующем. Пусть 
и 
– значения канонических переменных в момент времени 
, а 
и 
– их значения в другой момент времени 
. Последние являются некоторыми функциями от первых (и от величины интервала времени 
как от параметра):
, 
Если рассматривать эти формулы как преобразование от переменных и к переменным и , то это преобразование будет каноническим. Это очевидно из следующего выражения
для дифференциала действия 
, взятого вдоль истинной траектории, проходящей через точки и 
в заданные моменты времени и . Сравнение этой формулы с (6) показывает, что 
есть производящая функция преобразования.
