2020-08-05
100
1. Записать по системе расширенную матрицу.
2. С помощью элементарных преобразований привести, полученную расширенную матрицу, к ступенчатому виду.
3. По ступенчатой матрице восстановить эквивалентную систему.
4. Снизу вверх располагаются решения системы.
Если в результате преобразований у системы отсутствуют решения, тогда данная система называется несовместной, у которой матрица A является вырожденной.
Алгоритм получения обратной матрицы через элементарные преобразования
1. Добавляем к матрице A единичную матрицу E.
2. С помощью элементарных преобразований приводим матрицу A сначала к верхнетреугольному виду, затем к диагональному виду и потом к виду единичной матрицы E.
3. Параллельно те же преобразования совершаются над исходной матрицей E, которая после преобразований обратится в обратную матрицу 
.
Ранг матрицы
Минора, порожденная матрицей 
, называется 
, составленной из элементов, стоящих в выделенных k строках и k столбцах.
Рангом матрицы A (
) называется наибольший порядок k не нулевого минора, порожденного этой матрицей. Элементарные преобразования не меняют ранг матрицы. Ранг ступенчатой матрицы равен рангу исходной матрицы. Ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк.
Теорема Кронеккера-Карелли: Если ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы, тогда система совместна.
Если у совместной системы ранг матрицы равен числу неизвестных, тогда решение будет единственным. Если ранг матрицы A меньше числа переменных n, тогда решений системы бесконечно много и для их записи потребуется 
свободных переменных.
Векторная алгебра
Вектором называется направленный отрезок. Примеры векторов и их наименований представлены на рисунке 1.
Рисунок 1. Примеры векторов.
Вектор не зависит от точки приложения.
Нулевой вектор – вектор нулевой длины.
Два вектора являются коллинеарными, если они параллельны.
Три вектора и более являются компланарными, если они все параллельны некоторой плоскости.
