Поверхности второго порядка

       Пусть на плоскости xOy задана некоторая кривая k с уравнением . Если это уравнение рассмотреть в пространстве, то оно задаст поверхность параллельную Oz, которая называется цилиндром с образующей k.

       Если образующая k является кривой второго порядка, тогда соответствующий цилиндр – цилиндр второго порядка. Аналогично можно расположить цилиндр параллельно Ox или Oy, уравнения которых будут содержать y и z или x и z соответственно.

       Рассмотрим основные типы цилиндров, которые основываются на рассмотренных в трех предыдущих разделах кривых второго порядка.  Для удобства все цилиндры расположены параллельно Oz. Первым случаем является эллиптический цилиндр, который имеет уравнение

Пример эллиптического цилиндра представлен на рисунке 21.

 

Рисунок 21. Эллиптический цилиндр.

Вторым случаем является гиперболический цилиндр, который имеет уравнение

Пример гиперболического цилиндра представлен на рисунке 22.

 

Рисунок 22. Гиперболический цилиндр.

Последним случаем является параболический цилиндр, который имеет уравнение

Пример параболического цилиндра представлен на рисунке 23.

Рисунок 23. Параболический цилиндр.

       Случаи, когда образующая цилиндра имеет смещенный центр в своей плоскости, строятся аналогично рассмотренным выше, с учетом смещения центра образующей кривой.

 

Поверхности вращения

       Поверхностью второго порядка называется поверхность, которая задается уравнением второго порядка относительно переменных x, y и z следующего вида

В данном уравнении коэффициенты A, B, C, D, E и F не равны нулю. Рассмотренные в предыдущем разделе цилиндры второго порядка – пример поверхности второго порядка.

       Помимо цилиндров можно задавать поверхности второго порядка с помощью вращения кривых второго порядка. Основными случаями таких поверхностей являются:

· Эллипсоид вращения, имеющий уравнение

Пример эллипсоида вращения представлен на рисунке 24.

Рисунок 24. Эллипсоид вращения.

· Конус, имеющий уравнение

Пример конуса представлен на рисунке 25.

Рисунок 25. Конус.

· Однополосный гиперболоид, имеющий уравнение

Пример однополосного гиперболоида представлен на рисунке 26.

Рисунок 26. Однополосный гиперболоид.

· Двуполостный гиперболоид, имеющий уравнение

Пример двуполостного гиперболоида представлен на рисунке 27.

Рисунок 27. Двуполостный гиперболоид.

· Эллиптический параболоид, имеющий уравнение

Пример эллиптического параболоида представлен на рисунке 28.

Рисунок 28. Эллиптический параболоид.

· Гиперболический параболоид, имеющий уравнение

Пример гиперболического параболоида представлен на рисунке 29.

Рисунок 29. Гиперболический параболоид.

Гиперболический параболоид не относится к поверхностям вращения и приведен в качестве примера поверхности второго порядка, выпадающей из классификации.

 

Числа и множества