Если , тогда справедливы 3 утверждения:
1. , причем замкнутый контур к полностью находится внутри области D.
2. не зависит от формы кривой АВ, если и сама кривая, и точки АВ полностью находятся в области D, а зависит только от положения точек АВ.
3. Если подынтегральное выражение является полным дифференциалом , тогда можно восстановить саму функцию.
, с – произвольная постоянная.
Примеры.
Рассмотрим 2-ое следствие.
Вычислить где кривая L соединяет точки О и А.
L: O(0;0), A().
P=x+y; ; Q=x-y; .
1)Пусть L – прямая ОА.
ОА: y=x, , .
.
2) Пусть кривая L –ломанная ОАВ, В(π;0).
ОВ: y=0, .
.
BA: x=π, .
.
.
3) Пусть кривая L – парабола OA:
Рассмотрим третье следствие.
Восстановить функцию .
; . ; .
M0(1;1), M(X;Y)
1) .
2) .
.
;
Пусть .
.
Применение криволинейного интеграла 2-го рода.
1) Вычисление работы по перемещению точки вдоль кривой L под действием силы .
.
2) Вычисление площади плоской фигуры, ограниченной замкнутой линией L
.
Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .
, P=-y, Q=x.
1) .
.
2) .
.
3) .
.
.
Пример. Вычислить работу силы при перемещении точки по контуру эллипса , лежащего в 1-ой четверти.
.
АВ: Запишем параметрически уравнение эллипса:
, . .