Тема: Решение задач на нахождение по таблично заданной функции (при п=2), заданной аналитически.
Цель работы: Закрепить и систематизировать знания по теме «Основные численные методы».
Задание: Составить таблицу конечных разностей функций, заданных аналитически, от начального значения х0 до конечного х7, приняв шаг равным h:
1. | 3. | 4. | |
2. | 3. | 5. | |
3. | 7. | 6. |
Задание: Построить таблицу разностей функции , заданной таблично:
7. |
| 10. |
| ||||||||||||||||||||||||||||||||
8. |
| 11. |
| ||||||||||||||||||||||||||||||||
9. |
| 12. |
|
Задание: Найти значения первой и второй производных функции, заданной таблично, в точках x=a+bn:
13. | x=2,4+0,05n
n=1 | ||||||||||||||||
14. | x=4,5-0,06n
n=5
| ||||||||||||||||
15. | x=1,6+0,08n
n=2 |
16. | x=2,4+0,05n
n=3 | ||||||||||||||
17. | x=4,5-0,06n
n=7 | ||||||||||||||
18. | x=1,6+0,08n
n=4 |
Задание: По табличным данным найти аналитическое выражение первой производной:
19. |
| ||||||||||||||||||||
20. |
| ||||||||||||||||||||
21. |
| ||||||||||||||||||||
22. |
| ||||||||||||||||||||
23. |
| ||||||||||||||||||||
24. |
|
Задание: Вычислить значения первой и второй производной функции в точке , методом численного дифференцирования. Вычисления вести с четырьмя знаками после запятой:
25. |
=1,5 | ||||||||||||||||||||
26. |
=2,5 | ||||||||||||||||||||
27. |
=1,25 | ||||||||||||||||||||
28. |
=1,75 | ||||||||||||||||||||
29. |
= 2,2 | ||||||||||||||||||||
30. |
=2,1 |
Пояснения к работе:
Необходимые формулы:
Задача численного дифференцирования состоит в приближенном вычислении производных функции f(x) по заданным в конечном числе точек значениям этой функции.
|
|
Один из универсальных способов построения формул численного дифференцирования состоит в том, что по значениям функции f(x) в некоторых узлахx0, x1,..., xN строят интерполяционный полином PN(x) (обычно в форме Лагранжа) и приближенно полагают f (r)(x) ≈P(r)N(x),
0 ≤ r ≤ N
В ряде случаев наряду с приближенным равенством удается (например, используя формулу Тейлора) получить точное равенство, содержащее остаточный член R (погрешность численного дифференцирования):
f (r) (x) = P(r)N(x) + R, 0 ≤ r ≤ N
Такие формулы называются формулами численного дифференцирования с остаточными членами. Степень, с которой входит величина (hi=xi - xi-1) в остаточный член, называется порядком погрешности формулы численного дифференцирования. Формулы с отброшенными остаточными членами называются просто формулами численного дифференцирования.
Формулы численного дифференцирования с остаточными членами для первой (r=1) и второй (r=2) производных в узлах, расположенных с постоянным шагом hi≡h > 0:
r=1, N=1 (два узла): f '(x0) = (f1 - f0)/h - hf ''(ξ)/2
f '(x1) = (f1 - f0)/h + hf ''(ξ)/2
r=1, N=2 (три узла): f '(x0) = (-3f0 + 4f1 - f2)/2h + h2f '''(ξ)/3
f '(x1) = (f2 - f0)/2h - h2f '''(ξ)/6
f '(x2) = (f0 - 4f1 + 3f2)/2h + h2f '''(ξ)/3
r=2, N=2 (три узла): f ''(x0) = (f0 - 2f1 + f2)/h2 - hf '''(ξ)
f ''(x1) = (f0 - 2f1 + f2)/h2 - h2f (4) (ξ)/12
f ''(x2) = (f0 - 2f1 + f2)/h2 + hf '''(ξ)
r=2, N=3 (четыре узла): f ''(x0) = (2f0 - 5f1 + 4f2 - f3)/h2 + 11h2f (4)(ξ)/12
f ''(x1) = (f0 - 2f1 + f2)/h2 - h2f (4)(ξ)/12
f ''(x2) = (f0 - 2f1 + f3)/h2 - h2f (4)(ξ)/12
f ''(x3) = (-f0 + 4f1 - 5f2 + 2f3)/h2 + 11h2f (4)(ξ)/12
В приведенных формулах ξ есть некоторая точка (своя для каждой из формул) из интервала (x0, xN). Остаточные члены этих формул находятся с помощью формулы Тейлора. При этом предполагается, что на отрезке [x0, xN] у функции f(x) непрерывна производная, через которую выражается остаточный член. При четном N в среднем узле для четной производной порядок точности формулы на единицу больше, чем в остальных узлах. Поэтому рекомендуется по возможности использовать формулы численного дифференцирования с узлами, расположенными симметрично относительно той точки, в которой ищется производная.
Содержание отчета
7. Титульный лист в соответствии с СТП1.2-2005.
8. Цель работы
9. Задание
10. Выполненная практическая работа в соответствии с заданием
11. Ответы на контрольные вопросы
12. Вывод
Контрольные вопросы:
1. Запишите основные задачи численного дифференцирования.
2. Запишите формулы вычисления погрешности вычислений.
3. Запишите 1-ый интерполяционный многочлен Ньютона.
4. Запишите 2-ой интерполяционный многочлен Ньютона.
5. Запишите первую и вторую формулы Ньютона в узлах для вычисления производных на краях таблицы.