1) монотонные функции;
2) ограниченные и неограниченные функции;
3) чётные и нечётные функции;
4) периодические функции.
1) монотонные функции:
Определение 1. Функция называется возрастающей на множестве , если для любых из условия следует .
Определение 2. Функция называется убывающей на множестве , если для любых из условия следует .
Возрастающие и убывающие функции называются строго монотонными.
Определение 3. Функция называется неубывающей на множестве , если для любых из условия следует .
Определение 4. Функция называется невозрастающей на множестве , если для любых из условия следует .
Функции всех четырёх классов называются монотонными.
Определение 5. Функция называется кусочно-монотонной, если её область определения можно разбить на конечное множество промежутков, на каждом из которых функция монотонна.
Примеры: ,
2) ограниченные и неограниченные функции:
Определение 1. Функция называется ограниченной сверху на множестве , если множество является ограниченным сверху, то есть .
|
|
Определение 2. Функция называется ограниченной снизу на множестве , если множество является ограниченным снизу, то есть .
Определение 3. Функция называется ограниченной на множестве , если множество ограничено, то есть .
В противном случае функция называется неограниченной.
3) чётные и нечётные функции:
Определение 1. Функция называется чётной, если:
1) симметрична относительно начала координат, то есть если , то ;
2) .
Определение 2. Функция называется нечётной, если:
1) симметрична относительно начала координат, то есть если , то ;
2) .
4) периодические функции:
Определение. Функция называется периодической с периодом , если:
1) ;
2) .
Если – период функции , то для любого - тоже период. Наибольшего периода не существует. Но не всякая функция имеет наименьший положительный период.
Пример:
Функция Дирихле не имеет наименьшего положительного периода, так как , отсюда любое есть период функции , но наименьшего положительного рационального числа не существует.