Теорема. Пусть и в точке существует вторая производная. Тогда, если , то – точка минимума функции, а если , то – точка максимума функции.
Пример: Исследуйте на экстремум функцию .
Решение.
- критические точки.
- точка максимума;
- точка минимума.
.
Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на данном отрезке.
Если функция непрерывна на отрезке , то на этом отрезке данная функция принимает и своё наибольшее, и своё наименьшее значения.
Для того чтобы найти наибольшее (наименьшее) значение функции на отрезке , нужно:
1) найти производную данной функции;
2) найти критические точки;
3) вычислить значения функции в найденных точках и на концах отрезка;
4) из всех найденных значений выбрать наибольшее (наименьшее).
Пример: Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .
Решение. Находим производную и критические точки . Определяем значения функции в критических точках и на концах отрезка:
Из полученных значений выбираем наибольшее и наименьшее.
|
|
Итак, наибольшее значение функции на данном отрезке равно 2, а наименьшее -18.