Ч А С Т Ь II
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
ПЛОЩАДИ ПЛОСКИХ ФИГУР
Площадь в прямоугольных координатах. Если непрерывная кривая задана в прямоугольных координатах уравнением y = f (x) [ f (x) ³ 0 ], то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, двумя вертикалями в точках x = a и x = b и отрезком оси абсцисс a £ x £ b ( рис. 1), определяется формулой
. (1.1)
В более общем случае, если площадь S ограничена двумя непрерывными кривыми y = f 1(x) и y = f2 (x), , двумя вертикалями x = a и x = b, где a £ x £ b (рис. 2), то будем иметь:
. (1.2)
Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3
Площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной пара-метрически. Если кривая задана уравнением в параметрической форме x = j (t), y = y (t), то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, двумя вертикалями, соответствующими x = a и x = b, и отрезком оси OX, выражается интегралом
|
|
, (1.3)
где t 1 и t 2 определяются из уравнений
а = j (t 1) и b = j (t 2) (y (t)³ 0 на отрезке [ t 1; t 2]).
Площадь в полярных координатах. Если кривая задана в полярных координатах уравнением r = f (j), то площадь сектора АОВ (рис. 3), ограниченного дугой кривой и двумя полярными радиусами ОА и ОВ, соответствующими значениями j1 = a и
j2 = b выразится интегралом
. (1.4)
ДЛИНА ДУГИ КРИВОЙ
Длина дуги в прямоугольных координатах. Длина l дуги кривой y = f (x), содержащейся между двумя точками с абсциссами х = а и х = b, равна
. (2.1)
Длина дуги кривой, заданной параметрически. Если кривая задана уравнениями в параметрической форме x =j (t), y =y (t), то длина дуги l кривой равна
, (2.2)
где t 1 и t 2 – значения параметра, соответствующие концам дуги.
Длина дуги кривой, заданной в полярных координатах. Если кривая задана уравнением r = f (j) в полярных координатах, то длина дуги l равна
, (2.3)
где a и b – значения полярного угла в крайних точках дуги.
ОБЪЕМЫ ТЕЛ
Если криволинейная трапеция, ограниченная кривой y = f (x) и прямыми y = 0, x = a, x = b, вращается вокруг оси Ох (рис. 4), то объем тела вращения вычисляется по формуле:
. (3.1)
Рис. 4
Если криволинейная трапеция, ограниченная кривой y = f (x) и прямыми y = 0, x = a, x = b, вращается вокруг оси Оy, то объем тела вращения вычисляется по формуле:
. (3.2)
Объем тела, образованного вращением около оси Оу фигуры, ограниченной кривой x = g (y) и прямыми x = 0, y = c, y = d, можно определить по формуле
|
|
. (3.3)
Если фигура, ограниченная кривыми y 1 = f 1 (x) и y 2 = f 2 (x)
[0 £ f 1 (x) £ f 2 (x)] и прямыми x = a, x = b, вращается вокруг оси Ох, то объем тела вращения вычисляется по формуле:
. (3.4)
Если кривая задана в иной форме (параметрической, в полярных координатах и т. д.), то в приведенных формулах нужно сделать соответствующую замену переменной интегрирования.
РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ
Задача 1. Найти площадь эллипса (рис. 5): .
Решение. Ввиду симметрии достаточно вычислить площадь одной четверти, а затем учетверить результат. Полагая в уравнении x = a cos t сначала x = 0, затем x = a, получим пределы интегрирования t 1 =p/2 и t 2 = 0. Используя формулу (1.3), получим:
и, следовательно, S = p a b.
Рис. 5 Рис. 6
Задача 2. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной лемнискатой r = 2соs2j.
Решение. Ввиду симметрии (рис. 6) достаточно вычислить площадь одной четверти, а затем учетверить результат. Четвертой части искомой площади соответствует изменение угла j от 0 до p/4, используя формулу (1.4), получим:
и, следовательно, S = 2.
Задача 3. Найти длину дуги всей кривой (рис. 7). Вся кривая описывается точкой при изменении j от 0 до 3p.
Решение. Так как кривая задана в полярных координатах будем использовать формулу (2.3). Имеем , поэтому длина всей дуги кривой
Задача 4. Найти длину одной арки циклоиды (рис. 8) .
Решение. Так как кривая задана уравнениями в параметрической форме, будем использовать формулу (2.2). Пределы интегрирования t 1 = 0 и t 2 = 2p соответствуют крайним точкам арки циклоиды (y = 0). Имеем = a (1 – cos t) и = a sin t.
.
у
х
х
О 2pа
Рис. 7 Рис. 8
Задача 5. Найти объемы тел, образуемых вращением фигуры, ограниченной одной полуволной синусоиды y = sin x и отрезком 0 £ x £ p вокруг: a) оси Ox и b) оси Oy.
Решение. Воспользуемся формулами (3.1) и (3.2) соответственно.