Краткие теоретические сведения

При работе бруса на растяжение и сжатие в его поперечных сечениях возникает продольная сила N. Продольная сила в произвольном поперечном сечении бруса численно равна алгебраической сумме проекций на его продольную ось всех внешних сил, действующих на отсеченную часть.

Правило знаков для N: при растяжении продольная сила положительна, при сжатии – отрицательна.

При растяжении (сжатии) бруса в его поперечных сечениях возникают нормальные напряжения:

σ = N/А,

где σ - нормальное напряжение в сечении, Н/мм²;

N-продольная сила в сечении, Н;

А–площадь поперечного сечения, мм².

Для нормальных напряжений принимается то же правило знаков, что и для продольных сил.

Изменение длины бруса (удлинение или укорочение) равно алгебраической сумме удлинений (укорочений) его отдельных участков и вычисляется по формуле Гука:

где N_i - продольная сила на участке, Н;

l_i - длина участка, мм;

Е - модуль продольной упругости, Н/мм²;

A_i_-–-площадь сечения в пределах участка, мм.

Последовательность решения задачи:

1. Разбить брус на участки, начиная от свободного конца. Границами участков являются сечения, в которых приложены внешние силы, и места изменения размеров поперечного сечения.

2. Определить по месту сечений продольную силу для каждого участка (ординаты эпюры N), построить эпюру продольных сил N. Проведя параллельно оси бруса базовую (нулевую) линию эпюры, отложить перпендикулярно ей в произвольном масштабе получаемые значения ординат. Через концы ординат провести линии, проставить знаки и заштриховать эпюру линиями, параллельными ординатам.

3. Для построения эпюры нормальных напряжений определяем напряжения в поперечных сечениях каждого из участков. В пределах каждого участка напряжения постоянны, т. е. эпюра на данном участке изображается прямой, параллельной оси бруса.

4. Перемещение свободного конца бруса определяем как сумму удлинений (укорочений) участков бруса, вычисленных по формуле Гука.

Пример. Для данного ступенчатого бруса (рис. а) построить эпюру продольных сил, эпюру нормальных напряжений и определить перемещение свободного конца, если Е = 2*10⁵ МПа;

F₁ = 30 кH = 30 * 10³ Н; F₂ = 38* 10³ Н; F₃ = 42 кН = 42 * 10³ Н;

А₁ = 1,9 см² = 1,9* 10² мм²; А₂ = 3,1 см² = 3,1* 10² мм².

Решение.

1. Отмечаем участки, как показано на рис.а.

2. Определяем значение продольной силы N на участках бруса:

N₁ = 0; N_II = F₁ = 30 кН; N_III = F₁= 30 кН; N_IV = F₁ – F₂ = - 8 кН;

N_V = F₁ – F₂ – F₃ = - 50 кН.

Строим эпюру продольных сил (рис. б).