от произвольных функций
В предыдущем параграфе рассматривались признаки сходимости (признаки сравнения) несобственных интегралов рода от положительных (или отрицательных) функций .
Если функция , начиная с какого - то места , имеет значения одного знака , то на промежутке эта функция является положительной (или отрицательной), и для исследования сходимости несобственного интеграла , а значит и , также можно применять признаки сравнения.
Если же подынтегральная функция не сохраняет знак ни на каком промежутке вида , где , то эти признаки сходимости уже не применимы.
В этом параграфе рассматриваются несобственные интегралы рода , где функция является знакопеременной при , т.е. на любом промежутке вида , где , функция меняет знак (как, например, функция или ).
Абсолютная сходимость несобственных интегралов.
Определение. Несобственный интеграл называется абсолютно сходящимся, если сходится несобственный интеграл .
Для положительных функций понятие сходимости несобственного интеграла от этих функций совпадает с понятием абсолютной сходимости, т.к. " .
|
|
Что можно сказать о сходимости несобственного интеграла ,
если известно, что он сходится абсолютно? Ответ на этот вопрос дает следующее утверждение.
Теорема. Абсолютно сходящийся несобственный интеграл – сходится. Другими словами:
если – сходится абсолютно, то – сходится.
Доказательство.
Имеем неравенства:
" ⇒ ∙ " .
Так как интеграл - сходится, то по свойству линейности интеграл ∙ - также сходится.
Для положительных функций и ∙ можно применить первый признак сравнения о сходимости несобственных интегралов:
- сходится ⇒ - сходится.
Так как , то из сходимости интегралов
и по свойству линейности следует
сходимость интеграла . Теорема доказана.
Замечание. Обратное утверждение неверно, т.е. из сходимости несобственного интеграла не следует его абсолютная сходимость. Это означает, что абсолютная сходимость - более сильное свойство, чем просто сходимость. Подробнее об этом изложено чуть ниже.
Рассмотрим некоторые свойства абсолютно сходящихся интегралов.
Теорема 1. Пусть " , где . Тогда
если - сходится, то - сходится абсолютно.
Доказательство.
Для положительных функций и можно применить первый признак сравнения о сходимости несобственных интегралов:
- сходится ⇒ - сходится.
Это означает, что интеграл - сходится абсолютно
(по определению). Терема доказана.
Теорема 2. Рассмотрим несобственный интеграл ,
|
|
где - ограниченная функция на промежутке .
Пусть несобственный интеграл - сходится абсолютно. Тогда несобственный интеграл - также сходится абсолютно.
Доказательство.
Так как - ограниченная функция, то " для некоторого числа . Следовательно:
∙ ∙ " .
Далее: - сходится ⇒ – сходится (по свойству линейности) ⇒ – сходится (первый признак сравнения) ⇒ - сходится абсолютно. Теорема доказана.
Пример.
Покажем, что , - сходятся абсолютно " .
Действительно, имеем: " ;
- сходится, т.к. ; следовательно,
по Теореме 1 несобственный интеграл - сходится абсолютно. Аналогичный факт имеем и для несобственного интеграла .
Пример.
Покажем, что несобственные интегралы: , , где , , - сходятся абсолютно.
Пусть , или ;
- ограниченная функция на промежутке . Так как – это сходящийся «эталонный» интеграл (), то по Теореме 2 несобственный интеграл
- сходится абсолютно.
Условная сходимость несобственных интегралов.
Определение. Несобственный интеграл называется условно сходящимся, если этот интеграл сходится, а интеграл от модуля функции: - расходится.
Другими словами, если несобственный интеграл - сходится, но абсолютной сходимости этого интеграла – нет, то такой интеграл называется условно сходящимся.
Примерами условно сходящихся несобственных интегралов будут интегралы Дирихле:
, , где .
Покажем это.
Применим к этим интегралам формулу интегрирования по частям.
;
.
Несобственные интегралы и – это частные случаи рассмотренных выше интегралов вида , .
Эти интегралы сходятся (абсолютно), т.к. (). Следовательно, интегралы Дирихле: , , () - также сходятся.
Теперь покажем, что абсолютной сходимости этих интегралов - нет, т.е. что интегралы: , - расходятся.
Рассмотрим интеграл . Предположим, что он сходится. Так как " , то по первому признаку сравнения сходится и интеграл ; кроме того, как показано выше, сходится и интеграл .
Тогда сумма двух сходящихся интегралов по свойству линейности также сходится:
, но интеграл , как известно, расходится.
Полученное противоречие показывает, что на самом деле несобственный интеграл - расходится. Аналогично доказывается, что - расходится.
Таким образом, доказано, что интегралы Дирихле сходятся условно.
Очевидно, что сходятся условно и интегралы вида:
, , где , , .
Замечание. Вместо несобственного интеграла , где - можно рассмотреть несобственный интеграл , который также сходится условно. Действительно: , а интеграл - является собственным (определенным) интегралом, так как подынтегральная функция - ограничена на .
Замечание. Используя сходимость интегралов Дирихле, вводятся неэлементарные функции интегральный синус и интегральный косинус :
, , .
Значения этих функций задаются в специальных таблицах.
Условная сходимость некоторых несобственных интегралов вида
- может быть установлена с помощью признаков Абеля и Дирихле, которые мы приведем без доказательства.
Теорема (признак Абеля).
Пусть выполнены следующие условия:
) несобственный интеграл - сходится (условно или абсолютно);
) функция - монотонна и ограничена на промежутке .
Тогда несобственный интеграл - сходится.
Теорема (признак Дирихле).
Пусть выполнены следующие условия:
) интегралы - ограничены при значениях ;
) функция - монотонна и стремится к нулю при .
Тогда несобственный интеграл - сходится.
Замечание. В признаке Дирихле первое условие - более слабое, чем в признаке Абеля, так как в нем не требуется сходимость несобственного интеграла ; но второе условие - более сильное, так как вместо ограниченности функции требуется стремление ее к нулю при .
|
|
Пример. Рассмотрим несобственные интегралы:
, , где , , , .
Применим признак Дирихле.
Здесь или , ; при .
или .
∙ ∙ ;
∙ ⇒ интегралы - ограничены при значениях ; аналогично и для интеграла .
По признаку Дирихле эти интегралы сходятся. Покажем, что они сходятся условно.
Так как , то " .
Далее имеем: - расходится;
по первому признаку сравнения интеграл - также расходится; следовательно, расходится и интеграл , где .
Аналогично и для интеграла . Значит, эти несобственные интегралы сходятся условно.
Можно показать, что при несобственные интегралы:
, - расходятся.
Таким образом, получаем следующий результат:
Рис. Условия сходимости несобственных интегралов |
условно при |
при |
абсолютно при |
§ 5. Несобственные интегралы 2 рода
В этом параграфе рассматриваются функции, заданные на конечном промежутке и не ограниченные на этом промежутке.
Если функция в некоторых точках промежутка не определена, то ее можно в этих точках доопределить какими-нибудь значениями; тем самым функция будет определена уже на всем промежутке. При этом изменение значений функции в нескольких точках, как известно, не меняет значение определенного интеграла и не влияет на интегрируемость функции.
В дальнейшем будет указываться весь промежуток, на котором рассматривается функция; а точки, в которых она не ограничена (или не определена), будут называться особыми точками.
Пусть функция определена на промежутке и не ограничена на нем. Предположим, что единственной особой точкой на этом промежутке является правый конец промежутка - точка .
При этом считаем, что на любом промежутке вида , где - достаточно малое положительное число, функция интегрируема.
|
|
Рассмотрим определенный интеграл и поставим вопрос о существовании предела:
.
Этот предел может быть конечным или бесконечным, а может и вовсе не существовать.
Определение.
Несобственным интегралом рода от функции на промежутке называется выражение .
Это выражение имеет конкретное значение, равное пределу , если этот предел существует и конечен:
;
в этом случае говорят, что несобственный интеграл - сходится.
В случае бесконечного предела: - выражению также приписывают значение ; в этом случае говорят, что несобственный интеграл - расходится: .
Если предел - не существует, то и в этом случае говорят, что несобственный интеграл - расходится, а выражению не приписывают никакого значения.
Аналогично определяется несобственный интеграл рода в случае, когда единственной особой точкой является левый конец промежутка - точка :
.
Пример.
)
⇒
несобственный интеграл сходится и равен .
)
Рис. К геометрическому смыслу несобственного интеграла 2 рода |
Геометрический смысл
несобственного интеграла рода.
Если на , то
несобственный интеграл
равен площади бесконечной
(неограниченной сверху) криволинейной
трапеции, ограниченной графиком
функции , прямыми
, и осью абсцисс (см. рис.)
При этом сходящийся
несобственный интеграл задает
конечную площадь, а расходящийся –
бесконечную площадь.
Если оба конца промежутка являются особыми точками, то разбиваем этот промежуток на два промежутка произвольной точкой :
и рассматриваем несобственный интеграл с двумя особыми точками как сумму двух несобственных интегралов с одной особой точкой каждый:
.
Тогда несобственный интеграл называется сходящимся, если сходятся оба интеграла этой суммы. Если хотя бы одно из этих слагаемых расходится, то несобственный интеграл называется расходящимся.
Пример.
.
Рассмотрим первое слагаемое:
; - расходится ⇒
несобственный интеграл - также расходится.
Если имеется единственная особая точка , которая лежит внутри промежутка , то также разбиваем этот промежуток на два промежутка:
и рассматриваем несобственный интеграл как сумму двух несобственных интегралов с одной особой точкой каждый:
.
Тогда несобственный интеграл называется сходящимся, если сходятся оба интеграла этой суммы. Если хотя бы одно из этих слагаемых расходится, то несобственный интеграл называется расходящимся.
Пример.
.
Рассмотрим второе слагаемое:
;
- расходится ⇒ - также расходится.
Пример.
.
Первое слагаемое:
∙ .
Второе слагаемое:
∙ .
Оба интеграла сходятся; следовательно, несобственный интеграл
сходится и равен .
Если функция имеет на промежутке несколько особых точек, то разбиваем промежуток на такие частичные промежутки, в каждом из которых есть только одна особая точка; далее рассматриваем несобственный интеграл как сумму несобственных интегралов по каждому из этих промежутков.
В этом случае несобственный интеграл называется сходящимся, если сходятся все интегралы этой суммы. Если хотя бы одно из этих слагаемых расходится, то несобственный интеграл называется расходящимся.
Исследование сходимости несобственного интеграла
, где .
При данный несобственный интеграл расходится; действительно:
.
Пусть , тогда имеем:
∙ .
Если , то и при ; в этом случае несобственный интеграл - расходится.
Если , то и при ; в этом случае несобственный интеграл сходится и равен: .
Таким образом, получаем:
Рис. Условие сходимости несобственного интеграла |
при |
при |
Геометрический смысл этого результата заключается в следующем.
Площадь бесконечной криволинейной трапеции «под кривой» на промежутке является конечной при и бесконечной при (см. рис.)
Рис. Геометрический смысл условия сходимости несобственного интеграла |
Это различие объясняется тем, что графики одних функций «теснее прижимаются» к оси , чем графики других функций. «Границей» между этими множествами кривых является график функции , который ограничивает криволинейную трапецию бесконечной площади.
Пример.
Найдемплощадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции на промежутке , где .
∙
∙ ⇒ (см. рис.)
Например: , , .
§ 6. Простейшие свойства и вычисление
несобственных интегралов рода.
Несобственные интегралы рода обладают теми же свойствами, что и несобственные интегралы рода. Сформулируем эти свойства, например, для случая, когда единственной особой точкой является правый конец промежутка , т.е. точка .
Аддитивность.
Если сходится несобственный интеграл , то " сходится и несобственный интеграл , при этом выполняется равенство:
.
Линейность.
Если сходятся несобственные интегралы и , то сходится и несобственный интеграл
" , , при этом справедливо равенство:
∙ ∙ .
Если несобственный интеграл - сходится, то
.
Методы вычисления несобственных интегралов рода.
Вычисление несобственных интегралов рода основано на тех же формулах, что и вычисление несобственных интегралов рода.
Формула Ньютона-Лейбница:
,
где - первообразная для функции на и .
Например:
.
Интегрирование по частям: .
Пример.
∙
.
Замена переменной: .
Пример.
.
§ 7. Признаки сходимости несобственных интегралов 2 рода
В случае, когда вычисление несобственного интеграла рода невозможно или затруднительно, для решения вопроса о существовании (сходимости) этого несобственного интеграла применяются признаки сходимости.
Признаки сходимости для несобственных интегралов рода аналогичны признакам сходимости несобственных интегралов рода.
Для определенности будем рассматривать несобственные интегралы
рода , где точка является единственной особой точкой промежутка . Признаки сходимости, которые будут установлены для них, переносятся и на другие типы несобственных интегралов рода.
Признаки сходимости для положительных функций.
Пусть " (или, по крайней мере " , где - достаточно малое положительное число).
Сходимость несобственного интеграла от положительной функции равносильна ограниченности соответствующих определенных интегралов:
- сходится ⇔ : " .
Признаки сравнения.
Рассмотрим несобственные интегралы рода от положительных функций:
, , где , " .
Теорема 1 (первый признак сравнения).
Пусть " . Тогда
) из сходимости следует сходимость и справедлива оценка: ;
) из расходимости следует расходимость .
Пример.
Исследуем сходимость несобственного интеграла .
Здесь - положительная функция на ,
- особая точка, " ;
несобственный интеграл – сходится (см. Пример выше).
По первому признаку сравнения интеграл - также сходится.
Теорема 2 (второй признак сравнения).
Пусть , " и существует предел
.
Тогда оба интеграла и - сходятся или оба интеграла расходятся, т.е. если один из них сходится, то и другой сходится, а если один из них расходится, то и другой расходится.
Пример.
Исследуем сходимость несобственного интеграла .
Здесь - положительная функция на ,
- особая точка; ∙ .
Применим второй признак сравнения; для этого в качестве функции можно взять функцию , т.к. .
Тогда имеем:
∙ ⇒ - сходится;
по второму признаку сравнения - также сходится.
Признаки сходимости для произвольных функций.
Рассмотрим несобственные интегралы рода , где функция является знакопеременной при