Движение тела под действием силы тяжести в среде с сопротивлением

Лекция 2

Примеры построения математических моделей

 

Движение тела под действием силы тяжести в среде с сопротивлением

На примере этой простой задачи мы подробно рассмотрим весь путь построения модели и принимаемые допущения, которые определяют условия адекватности моделирования.

Итак, пусть рассматриваемый объект представляет собой тело определенных размеров, которое совершает прямолинейное движение под действием силы тяжести и при этом испытывает сопротивление движению со стороны окружающей среды. Расчетная схема процесса представлена на рис. 1.

 

Рис. 1.

 

Допущения, принятые при построении такой модели.

1. Тело имеет правильную геометрическую форму (например, шара); его движение происходит прямолинейно под действием силы тяжести и силы сопротивления. Действительно, законы движения шарообразного тела и тела, имеющего форму пластины, имеют существенное различие.

2. Масса тела — постоянная величина. Таким образом, модель не описывает, например, движение тел, вещество которых испаряется, сгорает или растворяется.

3.  В процессе движения форма тела не изменяется. А вот, скажем, капля жидкости или пузырек газа изменяют свою форму, поэтому для описания их движения требуются намного более сложные модели.

4. Плотность тела существенно выше плотности окружающей среды; таким образом, силой Архимеда можно пренебречь. В соответствии с этим допущением из рассмотрения исключаются процессы, в которых сила Архимеда имеет определяющее значение. Например, всплывающий газовый пузырек намного легче окружающей жидкости, и его движение подчиняется более сложным законам, в соответствии с которыми траектория его движения будет иметь волнообразный характер.

5. Вращение тела отсутствует. Таким образом, например, полет футбольного мяча данная модель в полной мере описать не в состоянии.

6. Сила сопротивления линейно зависит от скорости движения тела: F= -kV. Данное допущение справедливо в определенном диапазоне скоростей движения тела. На практике же часто реализуется квадратичный закон сопротивления: F = -k*V*|V|.

7. Сила тяжести рассматривается как постоянная величина. Таким образом, модель не распространяется на описание процессом космического масштаба (например, движения космического лета тельного аппарата по околоземной орбите или полета метеорита). Если перечисленные допущения выполняются, то тело можно считать материальной точкой, движение которой описывается законами классической механики. Все указанные допущения направлены на то, чтобы определить область корректного применения законов движении материальной точки. Однако определение значения коэффициент к возможно только путем идентификации или с помощью полуэмпири ческих зависимостей.

На данном примере мы хотим подчеркнуть, что любая модель имеет свою область применения. Действительно, перечень допущений достаточно велик, а невыполнение любого из них приведёт к неадекватным результатам моделирования.  Например,  вращение тела при движении в среде с сопротивлением создает дополнительную силу (эффект Магнуса); проявление данного эффекта можно наблюдать в ходе любого футбольного матча.

Цель моделирования: построить модель, на основе которой можно определить закон изменения скорости движения тела V(t) и изменения координаты X(t) во времени.

В соответствии с принятыми допущениями модель движения тела строится на основе второго закона Ньютона. Система дифференциальных уравнений, описывающая движение тела, имеет вид

с начальными условиями: V(t = 0) = V₀; x(t = 0).

Данная модель имеет четыре параметра, что существенно затрудняет ее анализ. Для упрощения анализа результатов моделирования необходимо свести количество параметров к минимуму.

Преобразуем модель к безразмерному виду следующим образом:

 

Определим безразмерную скорость  как отношение текущего иачения скорости V к ее начальному значению V₀ ()  и преобразуем уравнение движения:

 

Обозначим через t^* = V₀/g характерное время процесса. Введем безразмерное время: . Тогда уравнение движения примет вид:

Обозначим буквой  — безразмерный коэффициент сопротивления. С учетом принятых обозначений запишем уравнение движения в следующей форме:

Кинематическое уравнение преобразуется аналогичным образом:

В итоге  получим систему безразмерных дифференциальных уравнений:

 

 

с начальными условиями: .

Таким образом, после преобразований задача приведена к безразмерномувиду и имеет всего один безразмерный параметр . Конечно же анализ свойств подобной модели проводить значительно проще, чем исходной.

При анализе модели в исходном размерном виде, задав конкретные значения параметров, мы установим свойства лишь единственной конкретной системы. Анализ же модели в безразмерной форме для заданного значения  дает информацию о свойствах бесконечного числа реальных систем, для которых выполняется соотношение .

Различные реальные системы, имеющие одинаковые значении параметра  к, называются подобными, а параметр   для данной задачи называется критерием подобия.

В частном случае, когда V_o = 0, можно получить безразмерную модель с нулевым количеством параметров. Такая система называется автомодельной. В этом случае все реальные системы подобны друг другу.

Таким образом, проделанные предварительные преобразования существенно повысили информативность модели и упростили дальнейший вычислительный эксперимент.