При использовании чисел с плавающей запятой разрядная сетка компьютера принимает следующий вид (слайд 5):
разрядная сетка = nразр
<знак числа> <мантисса> <знак порядка> <порядок>
В этом случае числа представляются в виде мантиссы и порядка в двоичной системе счисления:
X = ± Mx × q±p
где: Мх – мантисса числа;
q=2 – основание системы счисления;
р – порядок числа.
Порядок (р) определяет положение запятой в числе. Значение порядка лежит в диапазоне -pmax < p < pmax, где величина рmax определяется числом разрядов r, отведенных для представления порядка: pmax = 2r - 1.
Положительные и отрицательные значения порядка значительно усложняют обработку вещественных чисел. Поэтому в современных компьютерах используют не прямое значение р, а модифицированное р', приведенное к интервалу 0 ≤ р' ≤ 2 × pmax. Это значение носит название характеристики числа, которая определяется выражением p' = p + pmax.
Мантисса (Mx) представляется двоичным числом, у которого запятая фиксируется перед старшим разрядом, т.е.
0 ≤│Mx│≤ 1 - 2-k,
где k – число разрядов, отведенных для представления мантиссы.
Если 0.5 ≤ │Mx│ ≤ 1 - 2-k, то старший значащий разряд мантиссы в двоичной системе счисления отличен от нуля. Такое число называется нормализованным.
Диапазон изменения значений нормализованных чисел с плавающей запятой определяется так:
,
где k и r – соответственно количество разрядов, используемых для представления мантиссы и порядка.
В этом диапазоне самое малое (отличное от нуля) и самое большое число определяются так:
,
r
,
k r
Абсолютная величина ошибки округления при представлении числа в формате с плавающей запятой не превышает │ΔХ│ ≤ 0,5 × 2-k.
Теоретически представление с плавающей запятой имеет преимущества перед представлением с фиксированной запятой. Но соответствующее устройство получается намного сложнее. К тому же специфика выполнения операций с плавающей запятой требует большего числа микроопераций, что приводит к снижению быстродействия компьютера. Однако представление с плавающей запятой снимает с программиста обязанность отслеживать положение запятой в вычислениях и значительно упрощает сам процесс программирования вычислительных задач.
Формат с плавающей запятой используется для представления вещественных чисел.