В методах хорд и касательных приближения «подходят» к корню только с одной стороны, что затрудняет оценку их погрешностей. Фактическая погрешность приближений часто оказывается гораздо меньше, чем показывают формулы их оценки, что приводит к лишним шагам при вычислениях с заданной точностью. Однако если эти методы применять не раздельно, а в сочетании друг с другом, то от указанного недостатка можно избавиться. Более того, при этом перестают быть нужными специальные формулы оценки погрешностей.
В каждом из случаев относительно знаков и последовательные приближения рассматриваемых методов находятся по разные стороны от корня.
Если обозначить приближения метода хорд через ck, приближения метода касательных через ck′, то точный корень х* всегда находится между приближением по методу хорд и касательных: ck ≤ х* ≤ ck′ или ck′ ≤ х* ≤ ck. Тогда отрезки стягиваются к корню, поэтому процесс уточнения с точностью до ε > 0 можно остановить сразу же, как только окажется , и взять в качестве приближенного корня середину отрезка:
|
|
.
Когда вычисления ведутся без заданной степени точности и на некотором шаге k в качестве приближения к корню выбрана средняя точка х* между ck, и ck′, тогда
.
Процесс уточнения будет более быстрым, если для вычисления ck+1 методом хорд вместо соответствующего неподвижного конца отрезка [ a; b ] использовать найденное методом касательных приближение ck′, т. е. когда хорды проводятся через точки графика функции с абсциссами ck, и ck′.
Вычисление пары чисел ck+1, ck+1′ надо начинать с ck+1′, которое определяется формулой метода касательных при соответствующем приближении с0′. Затем отыскивается сk+1. При этом благодаря комбинированию методов его вычисление упрощается, т.к. формула метода хорд становится единой, не зависящей от знаков производных.