Произведения, частного
Материал будет рассмотрен на практическом занятии №6.
Последовательность ,
1.Дана последовательность . Требуется доказать, что .
2.Согласно лемме, если последовательность имеет предел , то её общий элемент может быть представлен в виде , т.е. в данном случае
.
Если удастся доказать, что –бесконечно малая последовательность, то докажем, что 1 – предел последовательности .
3.Очевидно, что при .
4.Возведем обе части равенства в степень: .
5.В соответствии с формулой бинома Ньютона:
.
6.Все слагаемые, стоящие справа, неотрицательны. Если отбросить все слагаемые, кроме 1ого и 3ого, то равенство превратится в неравенство
, .
7.Так как , то или .
8.Разделим обе части неравенства на положительное число :
или или .
9.Но , тогда .
10. т.е. при . Следовательно, при по теореме о сжатой переменной, т.е. или –бесконечно малая последовательность. Значит, , так как выполняется равенство .
Ч.т.д.
Последовательность
1.Пусть дана последовательность . Требуется доказать, что при .
|
|
2.Для , начиная с некоторого номера будет выполняться неравенство , причем – для случая .
3.Извлечем корень nой степени из всех положительных частей неравенства
.
4.Известно, что при . Поэтому .
5.В соответствии с теоремой о сжатой переменной при для , т.е. .
Ч.т.д.