Приложение производных к исследованию функций

 

Использование производных позволяет прояснить многие особенности в поведении функций. Наиболее важными особенностями функций являются интервалы монотонности и точки экстремумов функций.

Если функция относится к классу дифференцируемых монотонных функций, то ее производная сохраняет знак на интервале монотонности, причем возрастающая функция имеет положительную производную, а убывающая – отрицательную. Действительно, если Δх > 0, то так как

 

 

то знак производной совпадает со знаком приращения функции.

Для возрастающих функций

 

 Δ f (x) > 0 f `(x) > 0,

 

для убывающих функций 

 

Δ f (x) < 0 f `(x) < 0.

 

Функция имеет локальный максимум (минимум) в точке х ₀, если она определена как в точке х ₀, так и в окрестности этой точки и значение функции в точке х ₀ больше (меньше), чем ее значения во всех соседних точках: т. е.

 

f (х ₀) > f (x) в точках максимума

 

f (х ₀) < f (x) в точках минимума

 

для всех х из окрестности точки х ₀.

 

Минимумы и максимумы функции объединены единым понятием – экстремумы. До точки максимума функция возрастает, следовательно, ее производная положительна

 

f `(x) > 0

 

после точки максимума – убывает, производная отрицательна

 

 f `(x) < 0.

 

Для точки минимума первоначально функция убывает

 

f `(x) < 0,

 

а потом возрастает

 

f `(x)>0).

 

В самих точках экстремумов производная или равна нулю (обычный экстремум) или не существует (острый экстремум). На рис. 2.5 функция имеет экстремумы в точках х ₁, х ₂ и х ₃, причем в точке х ₁ – острый максимум, а в точках х ₂ и х ₃ обычный минимум и максимум.

Тем самым, в точках экстремумов функции производная равна нулю или не существует (необходимое условие экстремума) и меняет знак с «+» на «-» в точках максимумов и с «-» на «+» в точках минимумов (достаточные условия экстремума).

Точки, в которых производная равна нулю, называются стационарными точками. Не все стационарные точки являются точками экстремумов. В стационарных точках надо проверять достаточное условие экстремума.

Замечание. Не надо путать наибольшее и наименьшее значение и экстремумы. Экстремум достигается всегда внутри промежутка, а наибольшее и наименьшее значения могут достигаться и в точках экстремумов и на границах промежутка и в точках разрыва. На рис. 2.3  в конечных точках достигается наименьшее значение, но не минимум.

 

 

                              Рис. 2.5. Экстремумы функции

 

Функция называется выпуклой (выпуклость вверх) на интервале (a, b), если график функции лежит под любой касательной в каждой точке интервала, на всем интервале выпуклости вторая производная отрицательна f ``(x) < 0.

Функция называется вогнутой (выпуклость вниз) на интервале (a, b), если график функции лежит над любой касательной в каждой точке интервала, на всем интервале вогнутости вторая производная положительна f ``(x) > 0 (рис.2.6).

Следовательно, в точках экстремумов вторая производная имеет определенный знак (достаточное условие экстремума по второй производной):

в точках максимумов f ``(x ₀) < 0,

в точках минимумов f ``(x ₀) > 0.

Точки, в которых вторая производная равна нулю и меняет знак (с «+» на «-» или с «-» на «+») называются точками перегиба (рис. 2.6).

 

 

Рис. 2.6. Выпуклость и вогнутость кривой. Точка перегиба.

 

Пример. Исследовать функцию y = x ² e^{- x}.

 

y = x ² e^{- x}   y `= 2 x e^{- x} - x ² e^{- x} = x e^{- x} (2 – x);

 

 y `= 0 если x = 0 или x = 2, это стационарные точки.

 

y ``= (2 x e^{- x} – x ²e^{- x} ))’ = 2e^-x - 2 x e^-x – 2 x e^-x + x ² e^-x = e^-x(2 - 4 x + x ²);

 

y ``= 0 если x_1,2 =2 ,

 

это точки перегиба

 

  y ``(0) = 2 > 0,

 

следовательно в точке х = 0 минимум,

 

y` `(2) = -2e^-2  < 0, следовательно в точке х = 2 максимум.

 

Прямая y = kx + b называется асимптотической прямой (наклонной асимптотой) для функции f (x), если при х →∞ расстояние от переменной точки графика функции М до прямой стремится к нулю (рис. 2.7). При этом

 

,        .

 

 

Рис. 2.7. Асимптота

Пример 1. y = x e^-x.

, .

 

Прямая у = 0 является наклонной (горизонтальной) асимптотой.

Пример 2. Исследовать функцию   и построить её график.

1. Функция определена и непрерывна в интервалах .

2. Функция общего вида, так как

 

.

 

3. График функции не пересекается с осью OХ, а с осью OY пересекается при x = 0, y= -2, т.е. в точке В(0; -2).

4. Исследуем функцию на наличие асимптот.

а) Уравнение вертикальной асимптоты: . Вычислим пределы функции при  слева и справа.

.

.

б) Уравнение наклонной асимптоты имеет вид y = kx +b, где

.

     

Таким образом, уравнение наклонной асимптоты .   

5. Исследуем функцию на экстремум.

- точки, подозрительные на экстремум.

Исследуем знак производной в интервалах, окружающих подозрительные точки.

 

Рис. 2.8. Исследование на экстремум.

 

Получили, что в точке х = -1 возрастание функции сменяется убыванием, следовательно, это точка максимума. В точке х = 2 убывание сменяется возрастанием, следовательно, это точка минимума (рис. 2.8).

 

;    .

 

5. Исследуем график функции на выпуклость и вогнутость.

 

 

Точек перегиба нет, так как . Исследуем знак второй производной в интервалах, где функция определена, (смотрите пункт 1. этого примера) (рис. 2.9).

 

Рис. 2.9. Исследование функции на выпуклость и вогнутость.

 

Основываясь на полученных результатах исследования, строим график функции (рис. 2.10).

Пример 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции 

на отрезке [-4; 4].

Найдем критические точки функции , лежащие внутри отрезка [-4; 4], и вычислим ее значения в этих точках:

; 

в точках  и .

 

Рис. 2.10. График функции

 

Эти точки лежат внутри отрезка [-4; 4] и являются критическими. Других критических точек нет, так как производная существует всюду. Значение функции в критических точках:  и .

2. Вычислим значения функции на концах отрезка [-4; 4]:  и .

3. Сравнивая все вычисленные значения функции во внутренних критических точках и на концах отрезка, заключаем: наибольшее значение функции  на отрезке [-4; 4] равно 40 и достигается ею во внутренней критической точке , а ее наименьшее значение равно -41 и достигается на левой границе отрезка .

 

 

Во многих геометрических, физических и технических задачах требуется найти наибольшее или наименьшее значение величины, связанной функциональной зависимостью с другой величиной.

Для решения такой задачи следует, исходя из ее условия, выбрать независимую переменную, а затем найти искомое наибольшее или наименьшее значение полученной функции. При этом интервал изменения независимой переменной, который может быть конечным или бесконечным, также определяется из условия задачи.

Пример 4. Найти размеры цилиндрической закрытой цистерны с заданным объемом V и с наименьшей полной поверхностью.

Решение. Обозначив радиус и высоту цилиндра через r и h, а его полную поверхность через , получим

 

.

 

Здесь переменные r и h не являются независимыми, а связаны между собой равенством , так как согласно условию, цилиндр должен иметь заданный объем V. Определяя из этого равенства h и подставляя в выражение полной поверхности, найдем

,

где r изменяется в интервале .

Выразив таким образом исследуемую полную поверхность цилиндра S через одну переменную r, найдем теперь ее наименьшее значение при изменении r в интервале (0; ∞).

Найдем критические точки

 

.

в единственной точке , которая лежит в рассматриваемом интервале. Эта точка является критической, других критических точек нет.

Исследуем найденную критическую точку по знаку второй производной в этой точке

 

,

откуда следует, что критическая точка   есть точка минимума.

Функция  непрерывна в интервале (0; ∞). Поэтому согласно свойству непрерывных функций единственный минимум функции S в интервале (0; ∞) совпадает с ее наименьшим значением в этом интервале.

При   получим 

.

 

Следовательно, цилиндрическая закрытая цистерна, имеющая любой заданный объем, будет иметь наименьшую полную поверхность, когда ее осевое сечение представляет квадрат.