Работы и подготовке к практическим занятиям

Данная тема требует знаний ранее пройденного материала аналитической геометрии, в частности, уравнения прямой линии и кривых второго порядка, а также умения решать неравенства различных типов. Эти сведения необходимы для графического изображения области определения функции двух переменных. Изображение области определения для функций большего числа переменных не представляется возможным и необходимым.

Вопрос нахождения частных и смешанных производных является более важным, с одной стороны, так как именно частные производные применяются для характеристики различных экономических процессов (эластичность, например), и более простым – с другой, так как основан на ранее изученной методике нахождения производной функции одной переменной. При нахождении смешанных производных стоит обратить внимание, что они не зависят от порядка, в котором происходит дифференцирование по одной переменной, а затем – по другой, т.е. смешанные производные равны между собой. Этот факт используется при решении дифференциальных уравнений в полных дифференциалах.

 

Контрольные вопросы для самопроверки

1. Как найти полное приращение функции двух переменных?

2. Должно ли полное приращение функции двух переменных равняться сумме частных приращений?

3. Как связаны между собой полное приращение и полный дифференциал функции двух переменных?

4. В чем заключаются необходимое и достаточные условия существования экстремума функции двух переменных?

5. В чем суть метода наименьших квадратов?

 

 

Раздел 4. Основы интегрального исчисления

Тема 4.1. Неопределенный интеграл

Понятие и сущность неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла.

    Основные методы интегрирования: непосредственное, замены переменной, интегрирование по частям. Интегрирование дробно-рациональных и тригонометрических функций.

 

Практическое занятие «Неопределенный интеграл»

( форма обучения: очная, заочная, форма проведения занятия - обсуждение и решение задач)

1. Понятие первообразной и ее связь с неопределенным интегралом.

2. Основные свойства неопределенного интеграла.

3. Непосредственное интегрирование, метод замены переменной, интегрирование по частям.

4. Интегрирование дробно-рациональных, тригонометрических функций и некоторых иррациональностей.

Задания для самостоятельной работы

1. Изучите понятие неопределенного интеграла и его свойства.

2. Законспектируйте и выучите наизусть таблицу интегралов от основных элементарных функций.

3. Рассмотрите основные методы интегрирования: непосредственное, замены переменной, интегрирование по частям.

4. Изучите методы интегрирования дробно-рациональных и тригонометрических функций.

5. Рассмотрите интегрирование некоторых видов иррациональностей.

6. Выполните домашнее задание.

7. Законспектируйте весь изученный материал.

 

Рекомендации по выполнению заданий для самостоятельной

Работы и подготовке к практическим занятиям

Интегральное исчисление, как и дифференциальное, – один из важнейших разделов математического анализа. Операция интегрирования предполагает восстановление функции по ее производной, поэтому интегрирование – операция, обратная дифференцированию. Следовательно, начинать изучение данной темы следует с повторения таблицы производных и основных правил дифференцирования.

Необходимо вернуться к понятию дифференциала, вспомнить формулу для вычисления дифференциала функции и особое внимание обратить на инвариантность формы дифференциала, т.е. независимость формы записи дифференциала для простой и сложной функции.

На начальном этапе рекомендуется делать проверку правильности нахождения интеграла методом дифференцирования результата. При приобретении навыка эту операцию можно опустить.

Несмотря на кажущуюся простоту свойств неопределенного интеграла, их надо разобрать и запомнить и обязательно использовать при решении. Обратите внимание на аналогию свойств дифференцирования и интегрирования алгебраической суммы, а также на особые формулы дифференцирования и интегрирования произведения функций.

Изучая методы интегрирования, обратите внимание, что их довольно много и что запомнить их можно только при многократных упражнениях, иногда требуется творческий подход к нахождению интеграла. Поэтому те из студентов, что знают таблицу интегралов наизусть, могут успешнее справиться с задачей поиска нужного метода интегрирования, чем те студенты, которые истратят все усилия на поиски нужного табличного интеграла, а на поиск нужного метода не останется сил.

Контрольные вопросы для самопроверки

1. Чем отличается понятие первообразной от понятия неопределенного интеграла?

2. Для каких функций применяется метод интегрирования по частям?

3. Чем отличаются функции из семейства первообразных?

4. Чему равняется дифференциал от интеграла? Интеграл от дифференциала?

5. Что нужно выбрать в качестве функций u и dv при интегрировании по частям произведения тригонометрической и показательной функций?

Тема 4.2. Определенный интеграл

Определенный интеграл и его геометрический смысл. Свойства определенного интеграла. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Методы вычисления определенного интеграла.

    Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла.

    Несобственные интегралы первого и второго рода.

 

Практическое занятие «Определенный интеграл»

( форма обучения: очная, форма проведения занятия - обсуждение и решение задач, заочная)

1. Понятие определенного интеграла и его геометрический смысл.

2. Свойства определенного интеграла.

3. Формула Ньютона-Лейбница.

4. Методы вычисления определенного интеграла.

5. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла.

6. Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода. Вычисление и оформление записи.

7. Направления использования определенного интеграла в экономике.