Дано , вычислить .
Это действие, обратное к тому, что в задаче 17. Поэтому очевидно, что в ответе должно получиться
= = = = =
= = .
Задача 18. Найти все значения .
Решение. Используем формулу .
. Так как это действительное отрицательное число, то значит, . Итак, = . Таким образом, это точки в комплексной плоскости, имеющие вид: , , ,...
Ответ. .
Задача 19. Вычислить .
Решение. Применяем формулу , где аргумент вместо подставим . Тогда = = .
Ответ. .
Заметим, что , то есть модули значений косинуса вне действительной оси не ограничены отрезком .
Задача 20. Решить уравнение .
Решение. .
Введём замену , при этом получаем
. Задача разбивается на 2 шага
1) решим это уравнение и найдём ,
2) учитывая , запишем и далее найдём .
Квадратичное уравнение решаем через дискриминант, здесь , тогда . Оба значения - положительные действительные числа, т.е. им соответствует аргумент .
Далее,
= = = .
Получилось две бесконечных последовательности точек, одна выше а другая ниже действительной прямой. По горизонтали расстояние между соседними ровно .
|
|
Чертёж:
Замечание. Если число в правой части уменьшать до 1, то обе эти последовательности сближаются и в итоге соединятся в одну, расположенную на действительной прямой. Это будут в таком случае уже давно знакомые решения равенства , т.е. .
Общий случай. Если то , , . Тогда , что при порождает .
Практика 3 (неделя с 14 по 20 сентября).
Условия Коши-Римана.
В следующей серии задач надо представить функцию в виде , а также проверить выполнение условий Коши-Римана.
Задача 21. представить в виде , и проверить выполнение условий Коши-Римана.
Решение. = = , .
Заметим, что условия Коши-Римана не выполнены, даже 1-е:
, не равны между собой.
Ответ. , .
Задача 22. Функцию представить в виде , проверить условия Коши-Римана.
Решение. = = =
= = .
Поэтому , .
Заметим, что здесь нарушено уже даже 1-е условие Коши-Римана:
, .
Ответ. , .
Задача 23. представить в виде , проверить условия Коши-Римана.
Решение. =
Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые, чтобы сначала шли именно те, в которых нет мнимой единицы , а затем те, в которых она есть.
= =
. .
Условия Коши-Римана не выполняются, даже 1-е из них:
. , они противоположны, а должны совпадать.
Ответ. . .
Задача 24. представить в виде , проверить условия Коши-Римана.
Решение. = = =
Далее по формуле Эйлера = =
.
Проверим выполнение условий Коши-Римана.
Они совпадают (1-е условие Коши-Римана).
Они противоположны (2-е условие Коши-Римана).
Ответ. , .
Задача 25. представить в виде , проверить условия Коши-Римана.
|
|
Решение. = =
Домножили на сопряжённое, чтобы в знаменателе получилось некое единое действительное число, а разбиение на Re и Im осталось только в числителе. Тогда дробь можно будет разбить на сумму или разность двух дробей.
= = ,
- внутри
, .
Проверим условия Коши-Римана
=
= = = .
Первое условие выполнено.
, = , они противоположны, второе условие выполнено.
Ответ. , .
Задача 26. представить в виде , проверить условия Коши-Римана.
Решение. Если , то =
= =
далее раскроем по формуле Эйлера:
... = =
воспользуемся чётностью косинуса и нечётностью синуса:
... = =
=
= ,
тогда , .
Это можно ещё записать в таком виде, используя гиперболические синус и косинус: .
Проверим условия Коши-Римана.
=
= .
Первое условие выполнено.
, они противоположны, второе условие выполнено.
Ответ. , .
Задача 27. представить в виде , проверить условия Коши-Римана.
Решение. = =
= =
, тогда
, .
Проверим условия Коши-Римана.
совпадают;
противоположные.
Условия Коши-Римана выполнены.
Ответ. , .
Обратная задача:
Восстановление функции по разложению .
Примечание. С помощью формул , .
Задача 28. Дано: . Восстановить функцию . (обратная к задаче 27).
Решение. Вспомним, что: ,
и применим эти выражения в записи .
=
=
=
= =
= =
=
Ответ. .
Задача 29. Дано: = . Найти вид .
Решение. Подставим , .
= =
= = = . Итак, .
Ответ. .