3.1 Принципы обработки измерений
Измерения являются важной составной частью геодезических работ, именно из измерений получают качественную информацию о различных объектах, подлежащих изучению. Геодезистам приходится изучать длины линий, горизонтальные и вертикальные углы, превышения между точками местности, температуру воздуха, ускорение свободного падения, интервалы времени и многое другое. Результаты измерений могут использоваться как непосредственно, так и как промежуточные величины для вычисления таких характеристик объекта, которые либо вообще нельзя измерить, либо их измерение требует слишком больших затрат времени и средств.
С точки зрения теории обработки измерений все измерения нужно разделить на необходимые и избыточные. Если количество неизвестных величин равно t, а количество измерений равно n, причем n>t, то t – является необходимым, а (n - t) – избыточным.
Все измерения сопровождаются ошибками и главная задача обработки измерений – устранение противоречий между результатами измерений, содержащими ошибки, и математической моделью, включающей численные значения измеряемых величин.
|
|
3.2 Начальные сведения из теории ошибок
По своей природе ошибки бывают грубые, систематические и случайные.
Грубые ошибки являются результатом промахов и просчетов. Их можно избежать при внимательном и аккуратном отношении к работе и организации надежного полевого контроля измерений. В теории ошибок грубые ошибки не изучаются.
Систематические ошибки имеют определенный источник, направление и величину. Если источник систематической ошибки обнаружен и изучен, то можно получить формулу влияния этой ошибки на результат измерения и затем ввести в него поправку; это исключит влияние систематической ошибки. Пока источник систематической ошибки не найден, приходится считать ее случайной, ухудшающей качество измерений.
Случайные ошибки измерений обусловлены точностью способа измерений, точностью измерительного прибора, квалификацией исполнителя и влиянием внешних условий.
Теория ошибок занимается в основном изучением случайных ошибок.
Случайная истинная ошибка измерения D - это разность между измеренным значением величины l и ее истинным значением х:
D = l – х. (5)
Свойства случайных ошибок:
а) при данных условиях измерений абсолютные значения случайных ошибок не превосходят некоторого предела; если какая-либо ошибка выходит за этот предел, то считается грубой;
б) положительные и отрицательные ошибки равновозможны;
|
|
в) среднее арифметическое случайных ошибок стремится к нулю при неограниченном возрастании числа измерений:
(6)
г) малые по абсолютной величине случайные ошибки встречаются чаще, чем большие.
Средняя квадратичная ошибка одного измерения - СКО
Обозначается буквой m и вычисляется по формуле Гаусса:
, (7)
где , n – количество измерений одной величины.
СКО очень чувствительна к большим по абсолютной величине ошибкам, т.к. каждая ошибка возводится в квадрат.
Доказано, что уже при n = 8, значение m получается достаточно надежным.
Предельная ошибка ряда измерений обозначается Dпред.; она обычно принимается равной 3m. Считается, что из тысячи измерений только 3 ошибки могут достичь или немного превосходить значение Dпред = 3m.
Отношение mx/x называется средней квадратичной относительной ошибкой; для некоторых видов измерений относительная ошибка более наглядна, чем m. Относительная ошибка выражается дробью с числителем, равным 1, например, .
Арифметическая середина
Пусть имеется n измерений одной величины х, то есть
(8)
Сложим эти равенства, суммарное уравнение разделим на n и получим:
. (9)
Величина называется арифметической серединой.
(10)
.
Это означает, что при неограниченном возрастании количества измерений простая арифметическая середина стремится к истинному значению измеряемой величины, а при ограниченном количестве измерений хо является наиболее надежным и достоверным значением измеряемой величины.
, (11)
т.е. средняя квадратичная ошибка арифметической середины в корень из n раз меньше ошибки одного измерения.
Веса измерений
Измерения бывают равноточными и неравноточными. Например, один и тот же угол можно измерить точным или техническим теодолитом и результаты таких измерений будут неравноточными. Или один и тот же угол измерить разным количеством приемов, результаты тоже будут неравноточными. Понятно, что СКО неравноточных измерений будут неодинаковы. Из опыта известно, что измерение, выполненное с большей точностью (с меньшей ошибкой), заслуживает большего доверия.
Вес измерения – это условное число, характеризующее надежность измерения, степень его доверия, обозначается буквой р.
, (12)
где с – в общем случае произвольное положительное число.
В случае равноточных измерений, когда веса всех измерений одинаковы и равны единице,
. (13)
3.3 Элементы техники вычислений
3.3.1 Точные и приближенные числа
Точные числа получаются при счете отдельных предметов и понятий. (45 шагов, 27 шариков); масштабные коэффициенты (1м = 100см = 1000мм).
Приближенные числа в геодезии получают, как правило, из измерений; считается, что записанное приближенное число ошибочно не более чем на половину единицы последнего разряда: 2,145 ошибочно на 0,0005, 2145 ошибочно на 0,5 и т.д.
Округление приближенных чисел:
- если первая отбрасываемая цифра больше 5 или 5 с последующими цифрами не равными 0, то последняя оставляемая цифра увеличивается на единицу (2,461»2,5, 2,4523»2,5);
|
|
- если первая отбрасываемая цифра меньше 5, то последняя оставляемая цифра не изменяется (2,441»2,4).
- если первая отбрасываемая цифра есть 5 и за ней либо нет цифры, либо есть одни нули, то последняя оставляемая цифра округляется до четной (2,55»2,6, 2,65000»2,6).
3.3.2 Системы единиц для измерения углов:
а) Градусная система. Градус – это 1/90 часть прямого угла; минута – 1/60 часть градуса; секунда – 1/60 часть минуты; 1° = 60' = 3600''.
б) Радианная система.
Радиан – это центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности. Полный угол в 360° содержит 2p радианов.
Переход от радианной системы к градусной и обратно:
в ° = bрад×r°; bрад = b°/r°;
в ' = bрад×r'; bрад = b'/r';
в '' = bрад×r''; bрад = b''/r'';
Значения переходного коэффициента r:
r °=57,29578°;
r '=3437,747';
r ''=206264,8'';
в) Градовая система. Град – это 1/100 часть прямого угла;
сантиград – это 1/100 часть града;
сантисантиград – это 1/100 часть сантиграда;
1 град = 100 с. = 10000 сс.
Существуют еще часовая система измерения углов, система делений угломера и некоторые другие.
При нахождении тригонометрических функций угла нужно соблюдать соответствие между значением угла и количеством значащих цифр в значении функции:
- угол задан до целых минут - 4-5 значащих цифр;
- угол задан до десятых долей минуты - 5-6 значащих цифр;
- угол задан до целых секунд - 6 значащих цифр;
- угол задан до десятых долей секунды - 7 значащих цифр.