Расчет баланса мощности

Для любой резистивной схемы сумма активных мощностей, отдаваемых источниками, равна сумме активных мощностей, потребляемых в резисторах:

где стрелками указаны направления источников ЭДС, напряжения, источников тока, а также токов через них и напряжений на источниках тока.

1.5. Пример расчета резистивной цепи (рис. 2)

В схеме задано: E=100 В, E₁=E₂=80 В, U=U₈=50 В, J₉=5 А, r=120 Ом, r’=4 Ом, r₁=30 Ом, r₂=5 Ом, r₃=50 Ом, r₄=10 Ом, r₅=6 Ом, r₆=60 Ом, r₇=40 Ом, r₈=10 Ом.

1) Произвольно выберем положительные направления токов в ветвях (желательно по направлению ЭДС) с соответствующими индексами.

2) Обозначим все узлы схемы буквенными индексами.

3) Заменим параллельное соединение сопротивлений r₆ и r₇ эквивалентным:

r₆₇=r₆×r₇/(r₆+r₇)=60×40/100=24 Ом.

4) Заменим источник тока эквивалентным источником напряжения:

E₉=J₉×r₄=5×10=50 В, r₉=1/g₄=1/0.1=10 Ом=r₄.

После данного преобразования имеем часть схемы (рис. 3). В ветви б–г оказываются взаимно компенсирующие друг друга источник ЭДС E₉=50 В и источник напряжения U₈=50 В (E₈=-U₈), их можно исключить из схемы, так как они не изменяют токи. Тогда имеем пассивный треугольник б–в–г (рис. 4).

5) Преобразуем пассивный треугольник в эквивалентную звезду, учитывая последовательное соединение сопротивлений r₅ и r₆₇, r₄ и r₈.

Эквивалентная схема представлена на рис. 5а.

6) Рассчитываем токи методом контурных токов. Выбираем два независимых контура с указанными направлениями контурных токов I₁₁ и I₂₂ и записываем систему канонических уравнений по методу контурных токов (1):

I₁₁r₁₁+I₂₂ r₁₂=E₁₁

I₁₁ r₂₁+I₂₂ r₂₂=E₂₂

где

r₁₁=r+r’+r₁₁+r₁₀+r₂=12+4+6+15+5=42 Ом;

r₂₂=r₂+r₁₀+r₁₂+r₁=5+15+10+30=60 Ом;

r₁₂=r₂₁=-(r₂+r₁₀)=-(5+15)=-20 Ом;

E₁₁=E+U+E₂=100+50+80=230 В;

E₂₂=-(E₁+E₂)=-(80+80)=-160 В.

Решая систему уравнений

I₁₁×42-I₂₂×20=230;

-I₁₁×20+I₂₂×60=-160,

получим I₁₁=5 А, I₂₂=-1 А, а действительные токи в ветвях равны: I=I₁₁=5 A, I₁=-I₂₂=1 A, I₂=I₁₁–I₂₂=6 A.

Проверка: по первому закону Кирхгофа для узла " а "

–I–I₁+I₂=0 –5–1+6=0

7) Рассчитаем токи методом двух узлов. Выбрав за положительное направление узловое напряжение U_оа, определяем его по формуле (2), заменив источник напряжения U источником ЭДС E'=U противоположной полярности:

Примечание: Обратить внимание на определение проводимостей ветвей. Проводимость – величина, обратная эквивалентному сопротивлению ветви,

т. е.

Определим токи в ветвях для ранее выбранных направлений из уравнений по второму закону Кирхгофа. Например, для тока I (см. рис. 5б) имеем при указанном направлении обхода контура:

Аналогично для токов I1 и I2:

8) Методом эквивалентного генератора напряжения определим ток в ветви с E и r.

а) Разомкнем данную ветвь и исключим из нее сопротивление r (рис 6).

б) Так как в разомкнутой ветви ток равен нулю, то остается один замкнутый контур а–в–о–г, в котором протекает некоторый ток I' (направление выбрано произвольно).

Тогда из уравнения по второму закону Кирхгофа I'(r₁+r₁₂+r₁₀+r₂) =E₁+E₂ определяем I'=8/3 A.

в) Для определения напряжения U_mnxx на зажимах разомкнутой ветви составим уравнение по второму закону Кирхгофа, например, для левого контура а–б–о–n–m с указанным на рис. 6 направлением его обхода (против часовой стрелки). Точки n и o равнопотенциальны, так как ток в ветви равен нулю.

I'(r₁₀+r₂)+U_mn–U=E₂+E,

откуда

U_mn=E₂+U+E–I'(r₁₀+r₂)=530/2 B.

г) Определяем входное сопротивление пассивной схемы относительно тех же зажимов m и n. Для этого исключаем все ЭДС и источник напряжения, оставив их внутренние сопротивления, равные в данном случае нулю (рис.7).

Относительно зажимов m и n схема состоит из последовательной ветви n–o с эквивалентным сопротивлением r+r₁₁, с которой соединены две параллельные ветви а–в–о и а–г–о с эквивалентными сопротивлениями, соответственно равными r₂+r₁₀ и r₁+r₁₂.

Следовательно, входное сопротивление равно:

д) Находим искомый ток I по формуле (3):

9) Определяем токи I₃, I₅, I₈ в пассивном треугольнике по известным из расчета токам в эквивалентной звезде. При этом учитываем, что напряжения между точками б и в, в и г, г и б треугольника и эквивалентной ему звезды равны. Тогда из уравнений по второму закону Кирхгофа для контуров (обход, например, по часовой стрелке) получаем:

а) в–о–г: I₂r₁₀+I₁r₁₂–I₃r₃=0, I₃= (I₂r₁₀+I₁r₁₂)/r₃=2 A,

б) б–о–г: Ir₁₁–I₂r₁₂–I₈(r₄+r₈)=0, I₈=1 A, I₈¹I₄,

в) б–о–в: I₅(r₆₇+r₅)–I₂r₁₀–Ir₁₁=0, I₅=4 A.

10) Определяем токи I₆ и I₇ в двух параллельно соединенных сопротивлениях через общий ток I₅, имея в виду, что для двух параллельных сопротивлений (рис. 8) действительны формулы:

Следовательно,

11) Ток I₄ и показания вольтметра найдем из условия эквивалентности преобразования источника тока в источник напряжения. В исходной схеме (см. рис. 2) и эквивалентной схеме (см. рис. 3) напряжение между точками г и е должно быть неизменным.

Для схемы (см. рис. 3) имеем:

I₈r₉+U_ге=E₉, U_ге=E₉–I₈r₉=E₉–I₈r₄=40 B

Тогда ток I₄ определяем из уравнения (см. рис. 2):

I₄r₄+U_ге=0, I₄=–U_ге/r₄=-40/10=-4 A.

Вывод: а) Вольтметр включен неправильно. Полярность клемм вольтметра, указанную на рис. 2, необходимо изменить на обратную, так как потенциал точки г выше потенциала точки е (U_ге=40 В>0).

б) Отрицательный знак тока I₄ означает, что действительное направление этого тока противоположно выбранному.

12) Проверка проводится по первому закону Кирхгофа для исходной схемы. Например, для узла г:

–I₃+I₁+J₉+I₄=0; -2+1+5+(-4)=0.

13) Составим баланс мощности. При его составлении необходимо иметь в виду следующее: если выбранное направление тока совпадает с направлением ЭДС, то ЭДС является источником энергии, если направление противоположно – потребителем энергии. Для источника напряжения и источника тока – правило обратное. Это отражено в уравнении баланса мощности (4). Все резисторы независимо от направления тока через них являются потребителями энергии.

Для рассматриваемой схемы баланс мощности должен быть записан в виде:

EI+UI+E₁I₁+E₂I₂+U_геJ₉=U₈I₈+I²(r+r')+I₁²r₁+I₂²r₂+I₃²r₃+I₄²r₄+I₅²r₅+ I₆²r₆+I₇²r₇+I₈²r₈.