Для того чтобы криволинейный интеграл II рода не зависел от формы кривой AB, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие: (2)
во всех точках некоторой области D, содержащей кривую AB.
В этом случае существует функция U (x, y), такая, что подынтегральное выражение является ее полным дифференциалом:
.
Эту функцию можно восстановить (с точностью до константы) по ее полному дифференциалу, вычислив криволинейный интеграл по произвольному пути, соединяющему некоторую фиксированную точку (x 0, y 0) с «текущей» точкой (x, y):
. (3)
Векторная функция скалярного аргумента
Если каждому значению параметра t из некоторого промежутка ставится в соответствие по некоторому правилу f определенный вектор, то говорят, что задана вектор-функция скалярного аргумента t:
. (4)
Откладывая вектор при от начала координат, получаем траекторию движения конца вектора, называемую годографом.
|
|
Проекции вектора на оси координат являются функциями аргумента t, поэтому можно записать:
.
Производная от вектора по аргументу t определяется по формуле:
,
а вторая производная соответственно:
,
Если параметр t – это время, то векторное уравнение (4) называют уравнением движения. Тогда вектор-производная называется скоростью движения:
, (5)
Скорость движения – это вектор, направленный по касательной к траектории движения (годографу) в соответствующей точке в сторону возрастания параметра t.
Вектор
. (6)
называется ускорением движения.
Векторное поле