Числа Фибоначчи — элементы числовой возвратной последовательности 1, 1, 2, 3, 5, 8,... (ряда Фибоначчи), в которой каждый последующий член равен сумме двух предыдущих, таким образом, последовательность u1,u2, … чисел Фибоначчи задается начальными соотношениями u1 =u2 = 1 и рекуррентным соотношением un+1 = un-1 + un.
Многое в структуре произведений поэзии роднит этот вид искусства с музыкой. Четкий ритм, закономерное чередование ударных и безударных слогов, упорядоченная размерность стихотворений, их эмоциональная насыщенность делают поэзию
родной сестрой музыкальных произведений. Каждый стих обладает своей музыкальной формой - своей ритмикой и мелодией. Можно ожидать, что в строении стихотворений проявятся некоторые черты музыкальных композиций, закономерности музыкальной гармонии, а, следовательно, и золотая пропорция, и числа Фибоначчи.
Исследования поэтических произведений с этих позиций только начинаются. И начинать нужно с поэзии А.С. Пушкина. Ведь его произведения - образец наиболее выдающихся творений русской культуры, образец высочайшего уровня гармонии. С поэзии А.С. Пушкина мы и начнем поиски золотой пропорции - мерила гармонии и красоты.
|
|
Для анализа метрики стихотворений А.С. Пушкина рассмотрены его произведения периода 1829-1836 годов, периода создания наиболее совершенных стихов. Сюда вошло 109 стихов (без песен западных славян). Число строк в стихотворениях этого периода изменялось от 4 до 116. Однако большие стихотворные формы встречаются редко; число стихотворений с числом строк более 60 составило всего девять штук. Средний размер этих стихотворений составил 88 строк.
Казалось бы, величина стихотворения, определяемая числом строк, может изменяться произвольно и непрерывно от самой малой в четыре строки досамых больших, насчитывающих десятки строк. Однако оказалось, что это не так. Размеры стихов распределены совсем не равномерно; выделяются предпочтительные и редко встречающиеся размеры. На графике распределения стихотворений А.С. Пушкина по числу строк в них отчетливо выделяется несколько максимумов - наиболее часто встречающихся размеров (см. рисунок). Они явно тяготеют к числам 5, 8, 13, 21, 34. Причем по мере увеличения размеров стихотворений эти максимумы как бы «размываются», нивелируются. Максимум в области 46-55 строк выражен совсем слабо.
Ч 8 12 16 20 24 28 32 36 40 W 48 52 56 60 64 68
Проявляется вполне закономерная тенденция в творческой манере поэта; он явно предпочитает стихотворения, размер которых близок к числам ряда Фибоначчи. Следует учесть, что законы стихосложения требуют, как правило, наличия четного числа строк в стихотворении, так как строки попарно рифмуются. Неудивительно поэтому, что стихотворения с числом 12 и 14 встречаются значительно чаше, чем с числом строк 13. Это же справедливо и для интервала 20-22 строки. С учетом этого правомерно сгруппировать стихотворения по их размерам к некоторым областям, расположенным около чисел Фибоначчи. В результате стихотворения распределились следующим образом:
|
|
5 ± 1 строка - 14,
8 строк - 12, 14 ± 2 строки - 32,
22 ±2-15, 32 ±2-8 штук.
Общее число этих стихотворений составило 81, или около 80% к их общему числу.
... Характерно также, что наиболее выдающиеся произведения поэта, шедевры его творчества явно тяготеют к размерам 8, 13, 21 и 34 строки. К ним относятся стихи «В крови горит огонь желаний...», «Я вас любил, любовь еще, быть может...», и, наконец, одно из последних: «Пора, мой друг, пора! покоя сердце просит...», - все они состоят из восьми строк. В таких замечательных произведениях поэта, как «Сонет», «Поэту», «Мадонна», «Няне», - 13-14 строк. По 20 строк в таких известных стихотворениях, как «Храни меня, мой талисман», «Во глубине сибирских руд», «Поэт», «Когда в объятия мои», «Я здесь, Инезилья...» и в предсмертном «Я памятник себе воздвиг нерукотворный...»
Числа Фибоначчи не только доминируют в размерах стихотворений А.С. Пушкина, они определяют во многих случаях и внутреннюю композицию стихотворений: число стихов и число строк в них. Из 106 рассмотренных стихотворений его в 54 встречаются числа 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55. В 16 произведениях стихи состояли из восьми строк (3 х 8, 5 х 8, 8 х 8). Так, в стихотворении «Моя родословная» - 8 восьмистиший, в стихотворении «Друзьям» и «Дорожные жалобы» - 8 четверостиший. Конечно, число 8 удобно для стихосложения еще и потому, что оно четное. Но ведь четными являются и числа 6 и 10, однако они встречаются в произведениях поэта крайне редко.
... Преобладание в метрике стихотворений А.С. Пушкина чисел ряда Фибоначчи никак нельзя признать случайностью, игрой слепой вероятности. Наличие этих чисел выражает одну из фундаментальных закономерностей творческого метода поэта, его эстетические требования, чувство гармонии. Характерно, что нечетные числа этого ряда 3, 13, 15, 21 затрудняют стихосложение, рифмование строк. Но поэт пользуется этими размерностями, так как они отвечают требованиям художественной формы, формы новой, необычной, оригинальной и в то же время отвечающей критериям гармонии.
В коротких стихотворениях размером в 4-8 строк, как правило, выражена одна мысль, эмоциональное состояние поэта. Но стихотворения более значительные по размеру, содержащие 12-14 или 20-22 строки, очень часто включают в себя две мысли, два эмоциональных нюанса. Поэтому такие стихотворения состоят как бы из двух частей. Такое деление стихов на две части бывает симметричным - произведение делится на две равные части. Но значительно чаше части стихотворения не равны по размеру, асимметричны. В таких произведениях отношение большей части к меньшей очень часто отвечает рядом расположенным числам Фибоначчи (или близко к ним, учитывая четность числа строк) и, следовательно, близко к золотой пропорции. Некоторые стихотворения А.С. Пушкина очень четко отвечают этой закономерности внутренней композиции.
В стихотворении «Поедем, я готов; куда бы вы, друзья...» содержится 13 строк. В нем выделяются две смысловые части: первая в 8 строк и вторая в 5 строк.
В стихотворении «Элегия» («Безумных лет угасшее веселье...») две части - 6 строк и 8 строк. В стихе «Нет, я не дорожу мятежным наслажденьем...» также выделяются две части размером в 6 и 8 строк.
... После приведенного анализа стихотворений А.С. Пушкина уже не, кажется простой случайностью тот факт, что его роман в стихах «Евгений Онегин» состоит из 8 глав, в каждой главе в среднем около 50 стихов (а глава 7-я состоит из 55 стихов), а каждый стих состоит из 14 строчек. Похоже, что основная схема построения «Евгения Онегина» основана на близости к трем числам Фибоначчи: 8, 13, 55. Тяготение Пушкина к этим числам очевидно и, конечно, не случайно.
|
|
... Тяготение к определенным стихотворным формам характерно для каждого поэта, оно и определяет его индивидуальность. Для А.С. Пушкина характерно большое разнообразие таких форм, но есть у него и наиболее излюбленные. По-видимому, сюда относится и неосознанное, интуитивное тяготение к числам 5, 8, 13, 21, 34, 55. Ведь интуиция в творчестве А.С. Пушкина была необычайно сильной и плодотворной, во многом она и определила гениальность его произведений.
... В метрике и композиции стихов А.С. Пушкина сосуществуют два начала, обеспечивающие их гармонию: симметрия и асимметрия. Симметрия стихотворений выражается в четном числе рифмованных строк, в наличии 4-, 6- и 8-стиший, в парном количестве стихов в произведениях. Некоторые стихотворения симметричны по смысловому содержанию, которое делит их на две равные части (например «Город пышный, город бедный...», «Счастлив тот, кто избран своенравно...», «И.И. Пущину» и др.). Простота симметричных построений придает стихам красоту упорядоченности, легкость восприятия, строгость и монументальность.
Различные формы асимметрии проявляются в существовании непарного числа строк, наличии структур стихосложения 3 х 5, 5 х 3, 5 х 7 и т. п., несимметричном расположении кульминационных моментов, границ раздела стихотворений на различные по содержанию или интонации части. Асимметрия придает стихам живость, повышает эмоциональное воздействие. Одним из выражений асимметрии в метрике и композиции стихов является золотая пропорция, подчинение метрики числам Фибоначчи. Как известно, числа Фибоначчи отражают особенности роста живого, эти же особенности проявляются и в рождении, и в росте стихотворных творений поэта. Сочетание этих двух основ гармонии и порождает удивительное разнообразие художественных форм в поэзии А.С. Пушкина.
|
|
... Рассмотрим композицию «Пиковой дамы». В этой повести кульминационным моментом является сцена в спальне графини, куда проник Германн в надежде узнать тайну трех карт, сцена, которая оканчивается смертью графини. В повести (издания 1978 г.) 853 строки. Кульминационный момент повести - это смерть графини. Ему отвечает 535-я строка: «Потом покатилась навзничь... и осталась недвижима». Эта строка расположена в повести почти точно в месте золотого сечения, так как 835: 535 = 1,6. Читатель может возразить, что кульминационным моментом является восклицание Германна: «Старая ведьма! Так я ж заставлю тебя отвечать» - или момент, когда Германн убедился, что она умерла. Не будем вдаваться в мелкие детали этой сцены, тем более что речь идет здесь о разнице всего в несколько строк.
Наличие золотой пропорции и определяет основной план композиции «Пиковой дамы», придает ей гармоническую асимметричность: медленное нарастание эмоционального напряжения повествования, кульминация - смерть графини и постепенный спад эмоционального накала во второй части повествования.
Повесть «Пиковая дама» состоит из шести глав. Посмотрим, не проявляется ли в композиции глав золотая пропорция? В первой главе золотому сечению отвечает 68-я строка (всего в главе 110 строк): «Сен-Жермен задумался». Но ведь это уже узловая точка повествования, в ней переломный момент всей главы: откроет ли Сен-Жермен свою тайну графине, выручит ли ее, избавив от огромного карточного долга, или... графиня будет обречена на разорение и позор.
Вторая глава повести содержит 219 строк. Золотое сечение здесь приходится на 135-ю строку: «Однажды - это случилось два дня после вечера, описанного...» Но ведь это кульминационный момент главы, Лиза увидела в окне стоящего на улице Германна! Отсюда начался для нее новый отсчет времени, начались события, определившие всю ее дальнейшую судьбу. А.С. Пушкин совершенно точно определил это место во второй главе в золотом сечении - будто по калькулятору рассчитывал число строк; ведь 219: 135 = 1,62.
Третья глава повести описывает усилия Германна попасть в дом старой графини, выведать у нее тайну трех карт. С помощью Лизы он проникает в дом графини, прячется в темном кабинете и ждет возвращения графини. «Он был спокоен; сердце его билось ровно, как у человека, решившегося на что-нибудь опасное, но необходимое. Часы пробили первый и второй час утра, - и он услышал далекий стук кареты. Невольное волнение овладело им. Карета подъехала и остановилась».
Последняя фраза начинает новый отсчет времени для Германна (и для графини). Эта фраза приходится на 131-ю строку третьей главы, а всего в ней 212 строк. Разделив
212: 131, мы получим точно золотую пропорцию (212: 131 = 1,618)! Это поразительно! Какое фантастически точное интуитивное владение поэтом законами гармонической композиции!
В четвертой главе размером 113 строк золотая пропорция приходится на 70-ю строку: «Лизавета Ивановна выслушала его с ужасом». Это также переломный, трагический момент в жизни Лизы. Она вспомнила слова Томского: «У этого человека, по крайней мере, три злодейства на душе!» Она поняла с ужасом, что Германн виновник смерти графини, что Германна влекла не любовь к ней, а жажда денег.
В V главе описано посещение Германном похорон графини. Германн был «чрезвычайно расстроен» видом покойницы. В трактире он много выпил. «Возвратясь домой, он бросился, не раздеваясь, на кровать и крепко заснул». Эта 46-я строка пятой главы разделила повествование на две части: первая - похороны графини и приход к ней Германна и вторая - сон Германна, во время которого к нему явилась графиня и назвала три заветные карты - тройка, семерка, туз. Эта 46-я строка также отвечает золотой пропорции, ведь всего в этой главе 75 строк (75: 46 = 1,63).
В последней главе кульминационный момент заключен в возгласе Германна: «Старуха!», который приходится на самый конец - на 5-ю строку от заключительной части повествования. Золотая пропорция приходится на 77-ю строку: «Германн выпил стакан лимонаду и отправился домой», которая завершает описание первого дня игры Германна в карты и первого его выигрыша. Как видим, и в композиции последней главы повести присутствует золотая пропорция.
... Совпадение кульминационных моментов в произведениях прозы у А.С. Пушкина с золотой пропорцией удивительно близкое, в пределах 1-3 строк. Чувство гармонии у него было развито необыкновенно, что объективно подтверждает гениальность великого поэта и писателя.
III. Заключение
Как видно, в лицейские годы чистая и прикладная математика юным Александром Пушкиным не воспринималось как «милые предметы». Зато впоследствии, когда он писал о своём стремлении «в просвещении стать с веком наравне», поэт, несомненно, проявил большой интерес к математике, что нашло отражение в его гениальных творениях. Друг поэта П. А. Вяземский (1792 – 1878) писал о Пушкине, что был «страстен и к наукам естественным и особенно математическим, которые составляли значительный капитал его познаний и были до конца любимым предметом его учёных занятий и глубоких исследований».
Теоретическая и практическая значимость исследования заключается в том, что этим материалом можно развеять миф о нелюбви поэта к точной науке математике, использовать в качестве доказательства близость таких явлений человеческой мысли и творчества как литература и математика.
Литература
- А. С. Пушкин в воспоминаниях современников. – В 2-х т. – М.: 1981. – Т. 1.
- Депман И. Я. История арифметики. – М.: Учпедгиз, 1959.
- Краюхин С. Поверив алгеброй гармонию «Слова…», поэт обнаружил серебряное сечение. – Газета «Известия», № 19 /1996, 1 февраля.
- Марков А. А. Пример статистического исследования над текстом «Евгений Онегина», иллюстрирующий связь испытаний в цепь. – Известия Академии наук. – Серия 8. – СПб. – Т. 8. - № 3, 1999г, с. 153 – 162.
- Пушкин А. С. Полное собрание сочинений. – Т. 9. – М.: Академия, 1987.
- Пушкин А. С. Сочинения. – В 3-х т. – М.: Художественная литература, 1985 – 1987.
- Пушкин А. С. Собрание сочинений. – Т. 7. – М.: Наука, 1964, с. 144.
- Тарзиманова Г. Стихотворение Лобачевского. – Журнал «Квант»,
№ 8/1980, с. 18 – 19.
- Френкель В. Я. Пушкин и точные науки. – Журнал «Квант», № 8/1978, с. 28-32.
- О теории вероятности и математической статистике (переписка А. А. Маркова и А. А. Чупрова). – М.: Наука, 1977.