Определение 15. Отображение f: X→Y называется замкнутым, если для каждого замкнутого множества F Í Х образ f (F) является замкнутым множеством в Y.
Определение 16. Отображение f: X→Y называется замкнутым над точкой y Î Y, если для всякой окрестности О слоя f –1(y) Ì Х найдётся окрестность Oy точки y, трубка над которой f –1(Oy) содержится в данной окрестности О слоя f –1(y):
f –1(y) Í f –1(Oy) Í О.
Связь между замкнутостью в точке и общей замкнутостью устанавливает следующая
Лемма 2.1. Непрерывное отображение f: X→Y замкнуто тогда и только тогда, когда оно замкнуто над каждой точкой y Î Y.
Доказательство. Необходимость. Пусть отображение f: X→Y замкнуто. Возьмём произвольную точку y Î Y и рассмотрим окрестность О множества f –1(y). Множество F = X \ О замкнуто в Х и F ∩ f –1(y) = Æ. Поэтому множество f (F) замкнуто в Y и точка y Ï f (F). Значит окрестность Oy = Y \ f (F) точки y обладает таким свойством f –1(Oy) ∩ F = Æ, следовательно, f –1(Oy) Ì О. Таким образом, отображение f замкнуто над каждой точкой y Î Y в силу того, что точка y взята произвольно.
|
|
Достаточность. Пусть непрерывное отображение f замкнуто над каждой точкой y Î Y. Предположим, что образ f (F) некоторого замкнутого в Х множества F не замкнут в Y. Пусть точка y Î [ f(F) ] \ f (F), т.е. принадлежит границе множества f (F). Множество X \ F является окрестностью множества f –1(y). Следовательно, существует такая окресность Oy точки y, что f –1(Oy) Ì X \ F. Но тогда Oy ∩ f (F) = Æ и поэтому точка y Ï [ f (F)].
Получили противоречие. Отсюда, отображение f замкнуто.
Следующие утверждения указывают на некоторые важнейшие примеры замкнутых отображений.
Предложение 2.1. Непрерывное отображение f: X ® Y компактного пространства X в хаусдорфово пространство Y является замкнутым.
Доказательство. Рассмотрим произвольное множество F, замкнутое в Х. Оно будет компактным (по теореме 1.7). Тогда непрерывный образ f (F) компактного множества F будет компактен в Y (по теореме 1.9). Пространство Y хаусдорфово, следовательно, множество f (F) – замкнуто (в силу теоремы 1.8). Таким образом, отображение f является замкнутым.
Следствие 2.1. Биективное непрерывное отображение f: X ® Y компактного пространства X на хаусдорфово пространство Y является гомеоморфизмом.
Доказательство. Рассмотрим произвольное замкнутое подмножество F компактного пространства X. В силу предложения 2.1, образ f (F) – замкнутое множество. Тогда, по теореме 1.1, отображение f –1 является непрерывным, следовательно, f – гомеоморфизм.ÿ
Предложение 2.2. Пусть отображение f: X ® Y замкнуто над точкой y Î Y и пусть множество Z замкнуто в X. Тогда подотображение g = f |Z: Z ® Y замкнуто над точкой y. В частности, если отображение f замкнуто (над каждой точкой y Î Y), то и отображение g замкнуто.
|
|
Доказательство. Возьмём произвольную точку y Î Y и рассмотрим окрестность U Ì Z слоя g –1(y). Тогда в Х найдётся открытое множество U¢ такое, что U = U¢ Z. Множество O = U¢ (X \ Z) будет окрестностью слоя f –1(y). Отображение f замкнутое над точкой y Î Y, поэтому найдётся такая окрестность Oy точки y, что f –1(Oy) Ì O. Тогда g –1(Oy) Ì Z O = Z U¢ = U.
В силу произвольности выбора точки y Î Y, можно заключить, что если отображение f замкнутое над каждой точкой y Î Y, то и отображение g замкнутое над каждой точкой y Î Y.
Предложение 2.3. Пусть отображение f: X ® Y замкнуто над точкой y Î T Í Y, где T – произвольное множество в Y.Тогдапод-отображение g = f | : f –1(T) ® T замкнуто над точкой y. В частности, если отображение f замкнуто (над каждой точкой y Î T), то и отображение g тоже замкнуто (над каждой точкой y Î T).
Доказательство. Возьмём произвольную точку y Î T Í Y и некоторую окрестность О слоя g –1(y) = f –1(y), такую что
O = O' f –1(T),
где О¢ – открытое в Х множество.Так как отображение f замкнутое над точкой y, найдётся такая окрестность O'y в Y точки y, что f –1(O'y) Ì О'. Тогда в Т существует такая окрестность Oy точки y, что Oy = Oy' T, и f –1(Oy) = g –1(Oy) Ì O' f –1(T) = О. Следовательно, отображение g будет замкнуто над y Î Y.
Если отображение f замкнутое над каждой точкой y, то и отображение g будет замкнутым над каждой точкой y.
Установим теперь связь между связными и послойно связными замкнутыми отображениями.
Предложение 2.4. Пусть отображение f: X→Y замкнуто над точкой y Î Y и слой f –1(y) является несвязным множеством. Тогда отображение f несвязное над точкой y. В частности, если отображение f замкнуто и каждый его слой несвязен, то оно несвязное над каждой точкой y Î Y.
Доказательство. Поскольку слой f –1(y) является несвязным множеством, то найдутся такие непустые открытые в f –1(y) множества О 1 и О 2, что О 1 ∩ О 2 = Æ и О 1 О 2 = f –1(y). Тогда в Х существуют открытые множества Q 1 и Q 2 такие, что
O 1 = Q 1 f –1(y), O 2 = Q 2 f –1(y).
Рассмотрим замыкание этих множеств и в Х. Их пересечение есть замкнутое множество, и F f –1(y) = Æ (т.к. О 1 и О 2 замкнутые в f –1(y), как дополнения до открытых). Множество О = (Q 1 Q 2) \ F открыто в Х, причём f –1(y) Ì О. Для этой окрестности О (в силу замкнутости отображения f) найдётся такая окрестность Oy точки y, что f –1(Oy) Ì О. Пусть G 1 = f –1(Oy) Q 1 и G 2 = f –1(Oy) Q 2 – открытые в f –1(Oy) множества. Так как
Ì Х \ f –1(Oy),
то G 1 ∩ G 2 = Æ. Тогда f –1(Oy) = G 1 G 2. Следовательно, трубка f –1(Oy) несвязна.
Пусть U Í Oy – произвольная окрестность точки y. Тогда и – дизъюнктные множества, открытые в f –1(U), и непустые, т.к. О 1 Ì и О 2 Ì . Следовательно, для любой окрестности U Í Oy трубка f –1(U) несвязна. Отображение f несвязно над точкой y по определению.
Если отображение f замкнутое над каждой точкой y Î Y и каждый его слой несвязн, тогда, для произвольной точки y, отображение f будет несвязным над ней, следовательно, и над каждой точкой y Î Y.
Из установленного предложения автоматически вытекает
Следствие 2.2. Пусть отображение f: X→Y замкнуто над точкой y Î Y и связно над точкой y. Тогда слой f –1(y) является связным множеством. В частности, если f замкнутое и связное отображение, то оно послойно связное.
Предложение 2.5. Пусть отображение f: X→Y замкнутое и послойно связное. Тогда оно связное.
Доказательство. Возьмём произвольную точку y Î Y и предположим, что отображение f несвязно над точкой y. Тогда существует такая окрестность Oy точки y, что трубка f –1(U) является несвязной над каждой окрестностью U Í Oy точки y. Зафиксируем некоторую такую связную окрестность U, для которой выполняются следующие условия:
|
|
f –1(U) = О 1 О 2, О 1 ∩ О 2 = Æ,
где О 1 и О 2 – непустые открытые в f –1(U) множества.
Слой f –1(y) связен и f –1(y) Ì f –1(U), отсюда, f –1(y) содержится либо в О 1, либо в О 2 (по теореме 1.4). Рассмотрим произвольную точку х 1Î О 1. Образ этой точки f (x 1) = y 1 Ì U. По условию, слой f –1(y 1) связен и f –1(y 1) Ì О 1 О 2 = f –1(U). Поскольку О 1 ∩ О 2 = Æ и х 1Î О 1, следовательно (по теореме 1.4), f –1(y 1) Ì О 1. (Другими словами, если одна точка слоя принадлежит множеству О 1, то и весь слой принадлежит этому множеству.)
Отсюда, так как точка х 1 произвольная, то О 1 = f –1(f (O 1)). Аналогично доказывается, что О 2 = f –1(f (O 2)).
Отображение f замкнутое, тогда, по теореме 2.3, подотображение g = f: f –1(Oy) ® Oy также замкнутое. Таким образом, множества f (O 1) = g (O 1) и f (O 2) = g (O 2) будут непересекающимися открыто-замкнутыми в U и U = f (O 1) f (O 2), т.е. окрестность U несвязна. Это противоречит выбору окрестности U.
Для замкнутых отображений итоговую взаимосвязь между послойной связностью и связностью теперь можно выразить в форме следующей теоремы:
Теорема 2.3. Замкнутое отображение f: X→Y связно тогда и только тогда, когда оно послойно связно.
(Вытекает из следствия 2.1 и предложения 2.5).
Из последней теоремы и предложений 2.2 – 2.3 получаются такие следствия:
Следствие 2.3. Пусть отображение f: X→Y замкнутое, Z Í X замкнуто в Х. Подотображение g = f |Z: Z ® Y является связным тогда и только тогда, когда оно послойно связное.
Следствие 2.4. Пусть отображение f: X→Y замкнутое, T Í Y произвольное множество. Подотображение g = f | : f –1(T) ® T является связным тогда и только тогда, когда оно послойно связное.
Рассмотренные здесь свойства будут использованы в следующих пунктах в качестве основы для построения примеров связных и несвязных отображений.