Ответы к задачам темы 1

1. в) АС, г) АС, д) АВ

2. а) FВ, б) ДВ.

3. а) АN, б) А₁М, в) КN.

5. а) ВМ, б) АС

6. а) АМ, б) А₁О, в) 0

7. 1) Соотношение имеет знак равно, если векторы а и в сонапрапвлены. 2) Соотношение имеет знак равно, если или хотя бы один вектор нулевой, или векторы а и в противоположно направлены.            3)Да, например, если в треугольнике АВС сторона АВ меньше и стороны АС и стороны ВС и ВС = а, АС = в

4) Да, например, если в треугольнике АВС сторона АВ больше и стороны АС и стороны ВС и ВС = а, АС = в.

16. а) ВС = - FА + FО, ВЕ = -2 FА, АЕ = -2 FА +FО

       б) ВС = -½ ВА +    ВД, ВЕ = ВА +ВД, FД = -3/2 ВА + ½ ВД.

17 .  а) МN = -½ ВД, РА = - АВ – ½ ВД – ½ ДС,

   б) АР = ½ АС + АN, QN = -½ АС + АN – ½ АД.

18. АО = 3/2 АВ – 3/2 АД + ½ ВД₁, СМ = -½ АС – ½ АД,

  Д1О = АС – 3/2 АД – ½ АА₁, СА₁ = - АС + АА₁.  

19. Нет, если а 0, в = 0.

20. Нет, если векторы а и в коллинеарны, а векторы а и с не коллинеарны.

21. Если векторы а и в ненулевые коллинеарные.

22. Если векторы а, в, с компланарны и попарно не коллинеарны.

23. а) линейно независимы, б), в), г) - линейно зависимы.

24. а) линейно зависимы, б), в), г) - линейно независимы.

25. х 1.

26. а) (2,5,0), б) (-1,2,4), в) (5,5,-2), г) (1,2,-2), д) (1,1,3), е) (1,1/3,-4)

27. а), с) линейно зависимы.

28. 1) d = а + в + с, 2) d = 5 а + 4 в, 3) d = 4 а – с.

29. Нет.

30. Да, х = - 3/5, у = 20/3.

31. 1) Да. 2) Нет, 3) Нет. 4) Да.

33. АМ (1/6, 1/3, 0), КР(2/3,0, - 1/3), NМ (- 1/6, 1/3, 1/3)

34. АД (-1,2,-2), СА (2,-4,2)

35.  ДС(-1,-1,2), ВN (-3/4, 1/3, 2/3)

36.   СN (-3/2, 1, ½), МК (-1, 1/3, 1/3)

37.   ВК (-1,1,1/2), МС(1/2, ½. -1), А₁Р (1, 2/3, -1).

38.   В₁С (0,2,-1), АС₁ (2,0,-3).

39.   ДС (-1,1,0), Д₁В (-1/2, 2, -1/2), С₁А (3/2, 0, -1/2)

40. СР (4, -2/3, -2/3), АN (-9/2, 0,1)

41.   ДN (-7/3, 2/3, 4/3).

42.  8.

43.  -2/3.

44.  -25.

45.  1) Разность квадратов диагоналей параллелограмма равна учетверенному произведению смежных сторон на косинус угла между ними. 2) Произведение диагоналей параллелограмма и косинуса угла между ними равно разности квадратов его смежных сторон.

46.  2) – верное равенство.

47.  1) -17, 2) , 3) - , 4) -166, 5)63.

48.  – 24/50.

49.   Соs (i, а) =  5/6 ,  Соs (j, а) = - , Соs (k,а) = ½.

50. ,

51. 1) 6 , 2) 2/3.

54. АМ = 3, Соs АМВ ,

55. Равенство выполняется, если а) хотя бы один из векторов а, в, с    нулевой, б) а,в,с –ненулевые коллинеарные векторы, в) а,в,с –ненулевые векторы и а  в, в с,   г) а,в,с - ненулевые векторы а и с коллинеары, вектор в не перпендикулярен ни вектору а, ни вектору с.

56. АД = , АН = 12/5,

57. Соs АМН = .

58. Соs МАД = .

59. АМ = , Соs НАД = .

60. .

                                                       ________________

61. Соs (АС1, В1Д1) = (в² – а²) /√(а2 +в² + с²)(а² + в²)

62.

63. 4/3.

64.. Соs (ДМ, ВС) = 1/14.

65. 3/2.

66. АС (3/2, ½), АД (1,1), А F (-1/2, ½) Е F (-1/2, -1/2).

67. АВ (1/2, -1/2), ВС (1/2, ½), СД (-1/2, ½) ДА (-1/2, -1/2).

68. а) СМ (-1,1), ОВ (-1,-2), КМ (-!,-1), СВ (-2,-2), РС (1,-1), АР (1,1).

  б) СМ (-2,1), ОВ (-1/2,1), КМ (-1,1), СВ (-2,2), РС (1,-1), АР (1,1).

69. с = а + 7 в.

70. а = 2 в + с, в = ½ а – ½ с, с = а – 2 в.

71. р = 2 а – 3 в.

72. х = 2.

73. АМ₁ (3/2, 2), ВМ₂ (0, -5/2), СМ₃ (-3/2, ½).

74. Да, так как а –в + с = 0.

75. а (, 3/2), в (- , ).

76. (а,в) = 45°, (а,с) = 45°, (в,с) = 90°.

77. ВМ = , Соs АМС = - .

78. АН = .

79. а в = (а₁в₁) │ е₁ │² + (а₂в₂) │ е₂ │² + (а₁в₂ + а₂ в₁) │ е₁││е₂ │ Соs (е₁,е₂).

80. АН =

81. АД = .

83. Соs х = 2/3.

 

                     ТЕМА 2. МЕТОД КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ

 

 

Программа третьего теоретического опроса ( 10 минут)

Знать определения: аффинной системы координат, прямоугольной декартовой системы координат, координат точки в данной системе координат, простого отношения трех точек, определителя перехода от одного базиса к другому, ориентации векторного двумерного пространства, ориентированного двумерного пространства, угла между векторами на ориентированной плоскости.

Знать свойства определителей перехода от одного базиса к другому.

Уметь решать задачи: найти координаты вектора АВ, зная координаты точек А и В, найти длину отрезка АВ, зная координаты точек А и В в прямоугольной декартовой системе координат, найти координаты точки С, зная координаты точек А и В и что (АВ,С)= λ.

Уметь записывать формулы преобразования аффинных координат и прямоугольных декартовых координат.