Цель занятия: усвоение понятий векторного и смешанного произведений векторов, выработка навыков вычисления векторного и смешанного произведений и использование их в приложениях.
Векторное произведение векторов
3.1.1 Определение. Векторным произведением неколлинеарных векторов и называется вектор, обозначаемый × , удовлетворяющий следующим требованиям:
1) длина вектора × равна , где , ;
2) вектор × ортогонален обоим векторам и ;
3) тройка векторов , , × является правой.
Если векторы и коллинеарны, то полагают × = .
При вычислении векторного произведения полезно использовать его свойства. Перечислим их.
3.1.2 × = − × .
3.1.3 × = , R.
3.1.4 × × + × .
3.1.5 Если × = , то векторы , коллинеарны.
3.1.6 Длина векторного произведения × равна площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах.
Пусть векторы и заданы своими координатами относительно правого ортонормированного базиса , т.е. , . Тогда
× = . (9)
|
|
Приложения векторного произведения в механике и физике связаны с понятием момента силы. Моментом силы , приложенной к точке B, относительно некоторой точки А называется векторное произведение .
3.1.7 Пример. Заданы векторы , . Найти координаты векторов , .
Решение. Вычисляем координаты вектора по формуле (9):
= .
Координаты вектора определим с помощью свойств векторного произведения векторов. Имеем = = 2 (поскольку =0).
3.1.8 Пример. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах , если ; .
Решение. Имеем
(поскольку ). Итак (кв. ед.).