При анализе игры используются следующие свойства платежных матриц:
1) Произведение матрицы на число.
, , , .
Стратегии игроков не меняются, увеличивается только цена игры
.
При получается проигрыш.
2) Прибавляем к элементам матрицы положительное число
,
,
, оптимальные стратегии не меняются.
Латинский квадрат.
Латинским квадратом называют матрицу , если каждая из ее строк (столбцов) состоит из чисел от 1 до m.
Пример:
.
Для таких матриц справедливо следующее соотношение, определяющее цену игры: . В данном примере цена игры равна 2,5.
Диагональная игра.
, , где — символ Кронекера.
При такой матрице диагональные элементы можно преобразовать в . В оптимальные стратегиях игроков входят все чистые стратегии .
, , — диагональные элементы.
Аналогично для второго игрока:
.
Пример:
2 кг ершей, 3 кг щуки. С какой вероятностью надо выбирать поход за ершами?
.
Делаем вывод, что за ершами надо ходить чаще.
Если все , то , .
Игра, у которой диагональные элементы равны -1, а остальные равны 1.
|
|
Пусть матрица выигрышей имеет произвольный порядок m:
, , .
Для диагональных игр все стратегии являются рабочими (полезными), в других играх число полезных стратегий .
Теорема о поведении игроков. Если один из игроков придерживается своей оптимальной смешанной стратегии, то выигрыш игроков неизменен и равен цене игры, если второй игрок не выходит за пределы своих полезных (рабочих) стратегий. Размер выигрыша не зависит от того, какую из чистых или смешанных стратегий он использует.