Криволинейный интеграл второго рода в координатной форме

При определении криволинейного интеграла второго рода элементарная работа силы на участке находилась как скалярное произведение вектора и вектора, приближенно равного по длине и направлению участку . Вместо вектора , в качестве вектора, близкого к можно взять вектор , начало и конец которого совпадают с началом и концом участка .

Найдем скалярное произведение векторов и в координатной форме как сумму произведений соответствующих координат:

Переходя к пределу при , где ― длина наибольшей из элементарных дуг , получаем точное значение работы

.

Следовательно, криволинейный интеграл второго рода в скалярной координатной форме имеет вид:

или, в более краткой форме

.
Вычисление криволинейных интегралов второго рода

Пусть линия задана параметрически

: .

Тогда по определению дифференциала

Отметим начало дуги точкой , конец — точкой . В этом случае говорят, что задано направление перемещения по кривой от точки к точке и тем самым указано направление ориентирующего вектора .

Покажем, что вычисление криволинейного интеграла второго рода по линии заданной параметрически, сводится к вычислению однократного определенного интеграла по параметру :

А в случае плоской кривой, когда , последняя формула примет вид:

Замечание. Для плоской кривой, заданной уравнением , криволинейный интеграл второго рода в координатной скалярной форме сводится к определенному интегралу по переменной

(Выбрана ориентация , при которой , соответствуют началу и окончанию пути интегрирования.)

Если кривая задана уравнением , , то при соответствующей ориентации интегрирование по переменной будет осуществляться от до :

.

Пример. Вычислить , где — отрезок прямой с началом в точкеи концом в точке .

Решение. Изобразим на рисунке линию интегрирования.

Воспользуемся формулами параметрических уравнений прямой с направляющим вектором , проходящей через начальную точку с координатами :

Запишем параметрические уравнения прямой, которой принадлежит отрезок , приняв за направляющий вектор прямой вектор .

.

Начальной точкой отрезка является точка . Следовательно, параметрические уравнения этой прямой:

Из полученных уравнений находим, что точке соответствует значение параметра , а точке значение .

По определению дифференциала

Подставляя в интеграл значения и , а также учитывая значения параметра и , соответствующие началу и концу дуги , получим:

.

Пример. Вычислить , где — отрезок прямой с началом в точкеи концом в точке .

Решение. Изобразим на рисунке линию интегрирования.

Воспользуемся формулами параметрических уравнений прямой с направляющим вектором , проходящей через начальную точку с координатами :

Запишем параметрические уравнения прямой, которой принадлежит отрезок , приняв за направляющий вектор прямой вектор , т. е. .

Начальной точкой отрезка является точка . Следовательно, параметрические уравнения этой прямой:

Из полученных уравнений находим, что точке соответствует значение параметра , а точке значение .

По определению дифференциала

Учитывая, что и , подставляем в интеграл только значения и , а также значения параметра и , соответствующие началу и концу дуги

.

Пример. Вычислить , где —плоская кривая, являющаяся частью параболы от точки до точки .

Решение. Изобразим на рисунке линию интегрирования .

Воспользуемся формулой:

В данном случае соответствуют началу и окончанию пути интегрирования, , следовательно:

.