Численные методы решения краевых задач разделяют на 2 класса:
- Класс, который требует использование аппроксимации по всей области исследования.
- Класс, который требует аппроксимации только на границе исследуемой области.
К первому классу относят разновидности метода конечных разностей и разновидностей метода граничных эл-ов. Различие между этими подходами можно проиллюстрировать область исследования R с границей С.
Метод конечных эл-ов: Метод граничных эл-ов:
Таким образом, конечных эл-ов требует, чтобы вся область была разбита на сетку эл-ов и цепь решения задач состоит в определении значений искомой ф-ции в узлах сетки. Решение же в промежутках между узлами выражаются в простой приближенной форме через значение узла, связывая эти приближенные выражения с исходными ДУ частных производных. В конечном счете, приходят к сис-ме линейно-алгебраических у-ний, в которых неизвестные пар-ры, а именно, узловые значения, выражаются через известные величины в узлах сетки, находящихся на границе области исследования.
|
|
В рез-те получается алгебраическая сис-ма у-ний большой размерности, но при этом являющаяся разряженной, т.к. в каждом у-нии представлены значения искомой ф-ции в соседних узлах.
В методе граничных эл-ов численное решение строиться на основе полученных предварительно, аналитических решениях для простых сингулярных задач.
Условием применимости этих решений явл-ся выполнение граничных условий на границе исследуемой области. Поскольку сингулярное решение удовлетворяет в исследуемой исходным ДУ частных производных, то отпадает необходимость разбиения самой области на эл-ты. В этом случае сис-ма у-ний, подлежащая, в конечном счете, расчету, оказывается значительно меньше по числу у-ний, но сами у-ния явл-ся полными.
Сингулярным наз-ся решения, которые получают для однородных, неограниченных или бесконечных областей, в случае, когда в этой области имеется точка с заданной неоднородностью (возмущением, например, тепловым источником или тепловым стоком).
В случае если в области имеется несколько возмущений, то решение м.б. получено путем суммирования отдельных решений.
Поясним технику метода граничных эл-ов:
Для этого рассм-м область R, ограниченную контуром С. Часто легче находить аналитическое решение ДУ частных производных, для неограниченной области, чем для фактически заданной области. Поэтому предположим, что наша область R находится внутри бесконечной, неограниченной области. Предположим так же, что нам известно некоторое аналитическое решение для всей бесконечной области и это решение удовлетворяет граничным условиям, заданным на границе С. В этом случае мы можем считать, что мы имеет данные для исходной задачи. На практике чрезвычайно маловероятны, чтобы сингулярное решение удовлетворяло необходимым граничным условиям.
|
|
В то же время можно найти набор сингулярных решений, которые, будучи сложными, дадут приближено-верное значение на границе С. Эту процедуру можно выполнять следующим образом:
Разделим границу С на ряд эл-ов и условимся, что нас удовлетворяет приближенное решение, которое отвечает заданным условиям, на границе С, только в средних точках эл-ов, следовательно, если разделить границу на n элементов, то необходимо иметь n сингулярных решений, которые в сумме дадут требуемые условия.
Далее возникает вопрос, где расположить сингулярность, и какова д.б. их интенсивность.
Сингулярности предлагается разместить по одной в центре из каждых эл-ов, тогда суммарное воздействие всех сингулярностей на произвольный эл-нт, можно выразить через интенсивность сингулярности для всех других эл-ов. Хотя значение этих интенсивностей не известно, зато из граничных условий известен рез-т их совместного действия. Следовательно, можно записать систему из n – линейных алгебраических у-ний, относительно m – неизвестных значений интенсивности сингулярности. Как только эти решения будут получены, можно будет определить значения искомой ф-ции, в любой точке ряда. Т.о. можно произвольно выбирать точки, в которых желательно знать значения искомой ф-ции. Т.к. при этом в основе метода лежат аналитические решения, то этот метод потенциально более точен, чем метод конечных эл-ов или метод конечных разностей.
Физические величины, которые связаны с производными полученного решения, например, тепловой поток можно получить, математически дифференцируя сингулярные решения. Т.к. полученные решения справедливы для неограниченной области, то на основе их можно получать решения вне области R. Если будут соблюдены св-ва области R, что часто используется для решения задач для технических объектов, классифицируемые как оболочки.