Граничные условия I рода. б) Однослойная цилиндрическая стенка

б) Однослойная цилиндрическая стенка

Рассмотрим стационарный процесс теплопроводности в однослойной цилинд­рической стенке (трубе) с внутренним диаметром d₁ = 2r₁ и наружным диаметром d₂ = 2r₂ (рис.6).

На поверхностях стенки заданы постоянные температуры t₁ и t₂. Ко­эффициент теплопроводности в заданном интервале температур считаем постоян­ным. Необходимо найти распределение температур в цилиндрической стенке и тепловой поток через нее.

Рис.6. Цилиндрическая стенка. Г.У. 1 рода.

В данной задаче дифференциальное уравнение теплопроводности удобно записать в цилиндрической системе коор­динат. Так как q_v = 0 и ∂t/∂τ = 0, то поделив правую и левую часть уравнения (19) на а получим:

(46)

Ось трубы совмещена с осью Оz, т.е. при фиксированном радиусе температура вдоль трубы не изменяется, поэтому

(а)

Кроме того, т.к. температуры на наружной и внутренней по­верхностях трубы неизменны, изотермические поверхности являют­ся цилиндрическими, имеющими с трубой общую ось. Тогда темпера­тура не должна, зависеть от угла φ, т.е.

(б)

Следовательно, t есть функция только r, т.е. темпера­турное поле будет одномерным.

С учетом (а) и (б) уравнение (46) принимает вид:

(47)

Граничные условия:

при

при (48)

Совместное решение (47) и (48) дает уравнение температурного поля в цилиндрической стенке.

Для решения введем новую переменную:

,

тогда , (в)

Подставляя (в) в уравнение (47), получим:

(49)

Домножив левую и правую часть (49) на rdr, запи­шем

или (г)

Интегрируя (г), получим

(е)

Переходя к первоначальным переменным, перепишем (е) в виде:

или (50)

Разделив переменные и проинтегрировав (50), получим:

(51)

Определим постоянные интегрирования С₁ и С₂, подста­вив в уравнение (51) граничные условия:

при , отсюда

при , отсюда (д)

Решение уравнений (д) относительно С₁ и С₂ дает

,

Подставив значения С₁ и С₂ в уравнение (51), получим:

или (52)

Выражение (52) представляет собой уравнение логарифмической кривой, т.е. распределение температуры по толщине цилиндрической стенки является криволинейным.

Для нахождения теплового потока, проходящего через цилинд­рическую поверхность F, воспользуемся законом Фурье:

Из уравнения (50) значение температурного градиента:

Учитывая, что F = 2πrl, где l - длина трубы, получим

Заменив радиусы на диаметры, запишем:

(53)

Тепловой поток (53) может быть отнесен к единице внутренней поверхности, к единице наружной поверхности или к единице длины трубы.

При этом расчетные формулы для плотности теплового потока принимают вид:

_{, (54)}

где q₁, Вт/м² - плотность теплового потока для внутренней поверхности;

(55)

где q₂, Вт/м² - плотность теплового потока для наружной поверхности;

, (56)

где q_l, Вт/м² - линейная плотность теплового потока.

Линейная плотность теплового потока q_l - это количество тепла, которое проходит в единицу времени через стенку трубы длиной в 1 м в радиальном направлении.

Из уравнений (54) - (56) устанавливается связь между q₁, q₂ и q_l:

(57)

б) Многослойная цилиндрическая стенка

Рассмотрим далее теплопроводность через многослойную цилинд­рическую стенку, состоящую из n однородных слоев. Примем, что контакт между слоями совершенный и температура на соприкасающихся поверхностях соседних слоев одинакова. Заданы температуры на внешних поверхностях t₁ и t_n+1, коэффициенты теплопровод­ности и диаметры слоев.

При стационарном тепловом режиме линейная плотность теплового потока q_l будет одинаковой для всех слоев, тогда:

, ,…, (е)

Рис.7. Многослойная ци­линдрическая стенка. Г.У. I рода.

Из уравнений (е) определим температурные напоры в каждом слое:

(ж)

Сложив уравнения (ж), получим:

Отсюда линейная плотность теплового потока

, (58)

Величина имеет размерность мК/Вт и называется линейным термическим сопротивлением i-го слоя, а величина

называется полным линейным термическим сопротивлением теплопроводности многослойной стенки. После того, как определена линейная плотность теплового потока, можно найти температуру на границе любых двух слоев:

,

и t_i+1 для любого слоя

(59)

Внутри любого слоя температура изменяется по логарифмической кривой. Вычислив температуры на границе любого слоя по уравнению (59), распределение температуры внутри слоя можно найти по уравнению (52).

2.Граничные условия III рода.

а) Однослойная цилиндрическая стенка

Рис.8. Однослойная цилиндрическая стенка. Г.У. III рода.

Рассмотрим однослойную (однородную) цилиндрическую стенку (трубу) с постоянным коэффициентом теплопроводности. Заданы постоянные температуры подвижных сред t_ж1 и t_ж2, и постоянные зна­чения коэффициентов теплоотдачи на внутренней и наружной поверх­ностях стенки α₁ и α₂. Необходимо найти q_l и температуры t₁ и t₂. Будем полагать, что длина трубы велика по сравнению с диаметрами. Тогда потерями теплоты с торцев трубы можно пренебречь и при установившемся тепловом режиме, количество теплоты, которое будет передаваться от горячей среды к внут­ренней поверхности стенки, проходить через стенку и отдаваться от наружной поверхности к холодной жидкости будет одно и то же.

Помня, что

можно написать:

(60)

Решаем эти уравнения относительно частных температурных на­поров:

(61)

Складывая уравнения (61), получаем:

Отсюда:

(62)

Обозначим

, (63)

Величина K_l называется линейным коэффициентом теплопере­дачи и имеет размерность, Вт/мК. Она характеризует интенсивность передачи тепла от одной среды к другой через разделяющую их стенку.

Линейный коэффициент теплопередачи численно равен количеству теплоты, которое проходит через стенку трубы длиной I м в едини­цу времени в радиальном направлении от одной среды к другой при разности температур между ними в один градус.

С учетом (63) уравнение (62) запишется в виде

(64)

Величина R_l=1/k_l, мК/Вт, обратная k_l, называется линейным термическим сопротивлением теплопередачи:

(65)

где - линейное термическое сопротивление теплоотдачи от греющей среды к стенке;

где - линейное термическое сопротивление теплоотдачи от стенки к нагреваемой среде;

1/2λ*ln(d₂/d₁) - линейное термическое сопротивление теплопроводности стенки.

При расчете теплопередачи через многослойную цилиндрическую стенку нужно учитывать линейное термическое сопротивление тепло­проводности всех слоев. Тогда линейное техническое сопротивление теплопередачи для стенки из n слоев будет равно:

(66)

Отсюда k_l для многослойной стенки:

(67)

Линейная плотность теплового потока:

(68)

Температура на поверхностях однослойной стенки найдем из уравнений (61):

(69)

Температуру t₁ можно найти также через температуру второй жидкости t_ж2:

(70)

В случае многослойной стенки получим:

(71)

А температуру на внешней поверхности многослойной стенки в это случае можно найти также через t_ж2:

(72)

В технических расчетах, когда толщина стенки трубы мала по сравнению с диаметрами, можно теплопередачу через цилиндрическую стенку считать как через плоскую. Покажем, что это действительно так.

Если тепловой поток через цилиндрическую стенку

отнести к внутренней или наружной поверхности стенки, то получим плотность теплового потока, Вт/м², отнесенную к единице соответ­ствующей поверхности трубы:

Формулы для К₁ и К₂, Вт/м²К, в развернутом виде:

(73)

(74)

Величину ln(d₂/d₁)разложим в ряд:

Вели отношение d₂/d₁→1, то такой ряд быстро сходится, и c достаточной точностью можно ограничиться первым членом ряда:

(75)

где δ - толщина стенки трубы, (м).

Подставив (75) и условие d₂/d₁≈ d₁/d₂ ≈ 1 уравнения (73) и (74), получим:

(76)

Т.е. получили выражение коэффициента теплопередачи для плос­кой стенки (см. уравнение 38).

Следовательно, если стенка трубы тонкая, то при практических расчетах можно тепловой поток находить по формуле

, (77)

где К, находится по формуле (76)

Обычно в инженерных расчетах при d₂/d₁≤1,8 пользуются форму­лой (77).

Для уменьшения погрешности в качестве расчетной поверхнос­ти в (77), берут поверхность, со стороны которой α меньше:

если α₁>>α₂, то d=d₂;

если α₂<< α₁, то d=d₁.

если , то d=