x |
H |
T |
для АЗ (3)
для отражателя (4)
Граничные условия имеют вид
(5)
(6)
(7)
При этом потоки нейтронов должны быть конечны и неотрицательны.
Уравнения (3) и (4) представляют собой линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. При этом корни характеристического уравнения для (3) являются мнимыми, а корни характеристического уравнения для (4) – действительными и не равными друг другу. Тогда можно записать общие решения:
Ф 1(x) = A 1cos (χ 1 x) + C1 sin (χ 1 x) (8)
Ф 2(x) = A 2exp (χ 2 x) + C 2exp (– χ 2 x) (9)
Так как потоки в АЗ симметричны относительно оси реактора, то решение (8) будет соответствовать условию симметрии, если константа С 1 = 0, тогда окончательно для АЗ распределение потока нейтронов имеет вид:
Ф 1(x) = A 1cos (χ 1 x) (10)
Рассмотрим решение (9). В нем выразим экспоненты через гиперболические функции e x = ch (x) + sh (x), e– x = ch (x) – sh (x):
Ф 2(x) = A 2 [ch (χ 2 x) + sh (χ 2 x)] + C 2[ch (χ 2 x) – sh (χ 2 x)] = M ch (χ 2 x) + N sh (χ 2 x), (11)
где M = A 2+ C 2, N = A 2 – C 2.
Воспользуемся граничным условием (7). Тогда получаем:
Подставим полученное соотношение в (11):
(12)
Известно, что sh(a – b)=sh(a)ch(b)–ch(a)sh(b). Тогда в (12) числителе выражение в фигурных скобках можно привести к более компактному виду:
, (13)
где.
Таким образом, для ЯР в форме бесконечной пластины распределение потоков нейтронов будут описываться соотношениями (10) и (13):
Ф 1(x) = A 1cos (χ 1 x) (10)
, (13)
Для указанных выражений воспользуется граничными условиями (5) и (6) в точке с координатой H /2 (граница раздела АЗ/отражатель). В этом случае условие (5) (равенство потоков) примет вид:
(14)
Реализуем условие (6) (равенство плотностей диффузионных токов):
(15)
Разделим почленно (15) на (14) и получим
(16)
Выражение (16) является условием критичности бесконечно плоского ЯР с отражателем, которое, как и в случае ЯР без отражателя, устанавливает имеет тот же физический смысл: устанавливает в критическом ЯР связь между геометрическими параметрами (Н и Т) и параметрами среды χ 1, χ 2, D 1, D 2. Другими словами с помощью этого условия можно решить любую задачу о критичности: если задан состав АЗ и отражателя (χ 1, χ 2, D 1, D 2), можно определить критические размеры системы; и наоборот.
Тем не менее докажем, что (16) является условием критичности. Очевидно, что в качестве исходного положения для такого доказательства может служить следующее: если в условии (16) мы уберем отражатель (зададим T =0), то должны получить условие критичности бесконечно плоского ЯР без отражателя. Если T =0, правая часть условия (16) начнет стремиться к бесконечности. Тогда (16) примет вид:
Что и требовалось доказать.
Условие критичности (16) позволяет оценить критические размеры отражателя. В правой части этого условия функция гиперболического котангенса при аргументе, равном примерно 2,65, с точностью в 1% равна своему максимальному значению 1, т.е. в этом случае правая часть больше расти не может. Следовательно, для оценок критической толщины отражателя можно воспользоваться условием: χ 2 T ≈2,65. Так как χ 2=1/ М 2, то T ≈2,65 M 2. Таким образом, оценки показывают, что нет смысла делать отражатель толще, чем 2¸3 длины миграции нейтронов в отражателе. Однако на практике решающими оказываются экономические соображения, и размер отражателя выбирают меньше. Так, например, в ЯР с графитовыми отражателями оценки дают Т =110¸160 см, реально Т =60¸80 см.
Как отмечалось, благодаря применению отражателя снижается утечка нейтронов из АЗ, поэтому критические размеры АЗ могут быть уменьшены в ЯР с отражателем. Количественно экономию в размерах АЗ при использовании отражателя определяют с помощью величины, называемой «эффективная добавка за счет отражателя» – δ. По определению это разница между размерами АЗ в реакторе без отражателя и размерами АЗ в реакторе с отражателем.
Рассмотрим бесконечно плоский ЯР. Пусть ЯР в форме бесконечной пластины без отражателя имел критический размер Н 0 (с учетом длины экстраполяции), и с отражателем его критический размер известен – Н. Известно, что Н 0> Н. По определению эффективная добавка за счет отражателя будет равна:
(17)
В критическом ЯР без отражателя материальный параметр равен геометрическому, тогда. В (17) выразим ширину ЯР с отражателем и подставим туда найденное выражение для Н 0:. Теперь это полученное выражение подставим в условие критичности (16)
В аргументе тангенса открываем скобки и получаем
В итоге получаем, что условие критичности принимает вид:
, (18)
отсюда эффективная добавка за счет отражателя равна:
(19)
Если ЯР большой H >> d, в выражении (18) аргумент тангенса мал, а сам тангенс можно разложить в ряд, ограничившись первым членом разложения:
, учитывая, что χ 2=1/ М 2, получаем:
(20)
Проанализируем (20), рассмотрев предельные случаи.
1. Тонкий отражатель М 2>> T. Тогда аргумент гиперболического тангенса в (20) будет мал, сам гиперболический котангенс можно разложить в ряд, ограничившись первым членом разложения. Отсюда, т.е. δ ~ T. В этом случае величина δ определяется толщиной отражателя.
2. Толстый отражатель М 2<< T, т.е., следовательно,. Тогда, т.е. δ ~ M 2. В этом случае величина δ определяется ядерно-физическими свойствами отражателя.
Анализ полученных результатов показал, что при введении отражателя первоначально величина δ растет с ростом толщины отражателя, следовательно Критические размеры АЗ уменьшаются. Достигнув определенной толщины, рост δ прекращается независимо от роста толщины отражателя (прекращается уменьшение критических размеров АЗ). В этом случае роста δ, а значит и уменьшения размеров АЗ, можно добиться, использую другой материал отражателя, у которого выше замедляющие свойства: длина диффузии и возраст.
На основании выше изложенного можно установить алгоритм рассмотрения задач для ЯР различных форм с отражателем в одногрупповом приближении:
· постановка задачи (исходные уравнения, граничные условия);
· решение исходных уравнений и определения функций распределения потоков нейтронов в АЗ и отражателе;
· установление условия критичности (доказательство полученного условия как условия критичности)
· введение эффективной добавки за счет отражателя, ее нахождение с помощью условия критичности;
· анализ величины δ при различных толщинах отражателя.