Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости. Диалектический подход к изучению природы и общества требует рассмотрения явлении в их взаимосвязи изменении

Корреляционный анализ.

Диалектический подход к изучению природы и общества требует рассмотрения явлении в их взаимосвязи изменении.

Понятия корреляции и регрессии появились в середине XIX в. благодаря работам английских статистиков Ф. Гальона и К. Пирсона. Первый термин произошел от латинского «correlation» — соотношение, взаимосвязь. Второй термин (от лат. «regression» — движение назад) введен Ф. Гальтоном, который, изучая зависи­мость между ростом родителей и их детей, обнаружил явление «регрессии к среднему» — у детей, родившихся у очень высоких родителей рост имел тенденцию быть ближе к средней величине.

В естественных науках часто речь идет о функциональной за­висимости (связи), когда каждому значению одной переменной соответствует вполне определенное значение другой. Функцио­нальная зависимость может иметь место как между детермини­рованными (неслучайными) переменными (например, зависи­мость скорости падения в вакууме от времени и т.п.), так и ме­жду случайными величинами (например, зависимость стоимости проданных изделий от их числа и т.п.).

В экономике в большинстве случаев между переменными величинами существуют зависимости, когда каждому значению одной переменной соответствует не какое-то определенное, а множество возможных значений другой переменной. Иначе говоря, каждому значению одной переменной соответствует определенное (условное) распределение другой переменной. Такая за­висимость (связь) получила название статистической (или сто­хастической, вероятностной).

Возникновение понятия статистической связи обусловлива­ется тем, что зависимая переменная подвержена влиянию ряда неконтролируемых или неучтенных факторов, а также тем, что измерение значений переменных неизбежно сопровождается некоторыми случайными ошибками. Примером статистической связи является зависимость урожайности от количества внесен­ных удобрений, производительности труда на предприятии от его энерговооруженности и т.п.

В силу неоднозначности статистической зависимости между У и X для исследователя, представляет интерес усредненная по х схема зависимости, т.е. закономерность в изменении среднего значения — условного математического ожидания M_х(Y) (математического ожидания случайной переменной У, вычисленною в предположении, что переменная Х приняла значение х) в зависимости от х.

Определение. Статистическая зависимость между двумя переменными, при которой каждому значению одной переменной соответствует определенное условное математическое ожидание (среднее значение) другой, называется корреляционной. Иначе. корреляционной зависимостью между двумя переменными величинами называется функциональная зависимость между значе­ниями одной из них и условным математическим ожиданием другой.

Корреляционная зависимость может быть представлена в виде:

(11.1) и (11.2)

Предполагается, что j(х)¹ const и y(y) ¹ const, т.е. если при изменении х и у условные математические ожидания M_х (Y) и M_у (Х) не изменяются, то говорят что корреляционная зависимость между переменными Х и У отсутствует.

Сравнивая виды зависимости между Х и У, можно сказать, что с изменением значений переменной Х при функциональной зависимости изменяется определенное значение переменной У, при корреляционной – определенное среднее значение (условное математическое ожидание) У, а при статической – определенное (условное) распределение переменной У. Таким образом, из рассмотренных зависимостей наиболее общей выступает статистическая зависимость. Каждая корреляционная зависимость является статистической, но не каждая статистическая является корреляционной зависимостью. Функциональная зависимость является частным случаем корреляционной.

Уравнения (11.1) и (11.2) называют модельными уравнениями регрессии, их функции – модельными функциями регрессии, а их графики модельными линиями регрессии.

Для отыскания модельных уравнений, необходимо знать закон распределения двумерной случайной величины (Х, У). На практике, как правило существует лишь выборка пар (x_i,y_j) определенного объема. В этом случае речь будет идти об оценке (приближенном выражении) по выборке функции регрессии. Такой оценкой является выборочная линия регрессии Y и Х

где у_х – условная (групповая) средняя переменной У при фиксированном значении переменной Х= х;b₀,b₁,... b_р – параметр кривой.

Аналогично определяется выборочная линия Х по У:

Уравнения (11.3) и (11.4) называют выборочными уравнениями регрессии.

Статистические связи между переменными можно изучать методами корреляционного и регрессионного анализа. Основной задачей регрессионного анализа является установление формы и изучение зависимости между переменными. Основной за­дачей корреляционного анализа — выявление связи ме­жду случайными переменными и оценка ее тесноты.