Для базисных векторов принято обозначение .
Справедлива следующая теорема.
Теорема. Каждый вектор Х векторного пространства можно представить, причем единственным образом, как линейную комбинацию базисных векторов , то есть . (3.1.5)
Доказательство. Пусть векторы образуют некоторый базис n -мерного пространства. Тогда с любым вектором добавленным ()-м вектором Х получаем совокупность линейно зависимых векторов. Это означает, что (), следовательно
Обозначим , откуда , что и требовалось доказать. Можно доказать, что полученное разложение является единственным.
Пример. Даны векторы е 1 , е 2 , е 3 , . Разложить вектор по базисным векторам : запишем разложение вектора . Перейдем к координатной форме
Перейдем к системе уравнений
Решив систему любым методом (например, методом Крамера), получим ее решение: , , . Разложение вектора по базису имеет вид .