Лекция № 13 дерево

Тема: Деревья. Остов графа. раскраска карт

Основные вопросы, рассматриваемые на лекции:

1. Эквивалентные определения дерева.

2. Пример. Деревья с числом вершин не больше 5.

3. Остов графа. Поиск в ширину и в глубину.

4. Раскраска карт. Теорема Кенига. Проблема 4-х красок.

Краткое содержание лекционного материала

1. Эквивалентные определения дерева. Дерево – это связный граф, в котором нет циклов. Следующая теорема показывает только меньшую часть возможных равносильных определений дерева.

Теорема 1. Пусть – -граф. Тогда следующие условия эквивалентны:

() – дерево;

() любые две вершины в графе соединены единственной простой цепью;

() – связный граф и ;

() –граф без циклов и .

Доказательство. ()Þ(). Так как – связный граф, то любые две вершины и в графе соединены цепью, простой, поскольку еще –граф без циклов.

Если вершины и соединены двумя цепями, то получится цикл:

()Þ(). Непосредственно по условию граф связный. Доказываем равенство

(1)

индукцией по числу ребер (или вершин).

Уберем одно ребро между вершинами и . В силу единственности соединяющей цепи между вершинами и , граф распадается на два графа, удовлетворяющих условию ().

Если эти графы имеют по и вершин и по и ребер, то по индуктивному предположению для них выполняется равенство (1):

(2)

(3)

Сложив по частям (2) и (3), учитывая, что и , то получим равенство (1).

()Þ(). Допустим, что граф содержит цикл, можно считать, что простой цикл с вершинами и ребрами. Остальные вершин соединяются с этим циклом некоторым ребром, причем все такие ребра попарно различные.

Получается, что граф имеет число ребер , что противоречит (1).

()Þ(). В связной компоненте графа без циклов, мы, удаляя по одной крайней вершине и инцидентному ей ребру, на финише, в силу (1), получим одну вершину.

Если граф не связный, то он распадается на связные компоненты. Указанный выше процесс показывает, что тогда вершин будет больше ребер не на 1, а на . Значит, граф не может быть не связным.

2. Пример. Деревья с числом вершин не больше 5. Приведем все попарно неизоморфные деревья с числом вершин, не больше 5:

3. Остов графа. Поиск в ширину и в глубину. Остов графа – это подграф графа, содержащий все его вершины и являющийся деревом.

Приведем пример графа и одного из его остовов:

Обходы всех вершин графа совершаются как обход некоторого его остова. Методами обхода графа являются поиск в глубину и поиск в ширину.

Алгоритм поиска в глубину: для каждой не пройденной вершины необходимо найти все не пройденные смежные вершины и повторить поиск для них.

Пример графа и поиска в глубину этого графа:

1 - 2 - 3 - 4 -3- 5 -3-2-1- 6 -7-6- 8 -6- 9 - 10 - 11 -10-9- 12 -9-6-1.

Порядок поиска в ширину: началу обхода приписывается метка 0; вершинам, смежным с вершинами метки i, – метка i +1 (i =0,1,2,…). Затем нумеруем вершины: вначале вершины с меткой 0, затем с меткой 1 и т. д.

Пример графа и поиска в ширину этого графа:

4. Раскраска карт. Теорема Кенига. Проблема 4-х красок. - раскраска графа – это приписывание цветов его вершинам, такое, что две любые смежные вершины окрасятся в разные цвета.

Хроматическим числом графа называется наименьшее число цветов, для которого граф имеет -раскраску.

Граф называется - раскрашиваемым, если , и - хроматическим, если .

тогда и только тогда, когда граф вполне не связан (не содержит ребер).

Теорема Кенига. тогда и только тогда, когда граф не содержит нечетных простых циклов.

Треугольник и являются примерами 3- и 4- хроматического графа.

- раскраска плоской карты – это приписывание цветов его граням, такое, что любые два смежных ребра окрасятся в разные цвета.

Без доказательства приведем следующие факты:

1) Каждый граф 5-раскрашиваем.

2) Гипотеза «каждый граф 4-раскрашиваем» равносильна гипотезе 4 красок «каждая плоская карта 4-раскрашиваема».

В 1976 г К. Аппель и В. Хакен доказали, что четырьмя красками можно раскрасить любую карту. Их доказательство очень объемное, опирается на алгоритмы, реализуемые на компьютерах, в нем все вычисления человеку невозможно проверить.