Детерминированный случай

Общая постановка задачи исследования операций

Рассмотрим задачу исследования операций в общей постановке, безотносительно к виду и цели операции.

Пусть имеется некоторая операция O, то есть управляемое мероприятие, на исход которого мы можем в какой-то мере влиять, выбирая тем или другим способом зависящие от нас параметры. Эффективность операции характеризуется показателем W, который необходимо обратить в максимум (случай, когда его требуется обратить в минимум, сводится к предыдущему, например, посредством умножения на –1).

Предположим, что математическая модель операции построена (с помощью методов идентификации объектов). Она позволяет вычислить показатель эффективности W при любом принятом решении.

Рассмотрим наиболее простой случай: все факторы, от которых зависит успех операции, делятся на две группы:

· заданные и априорно известные факторы (условия проведения операции, ограничения), на которые мы влиять не можем: α ₁, α ₂, …;

· зависящие от нас факторы (элементы решения), которые мы, в известных пределах, можем выбирать по своему усмотрению: x ₁, x ₂, ….

Показатель эффективности W зависит от обеих групп факторов:

.

Тогда задачу исследования операций можно сформулировать так: при заданных условиях α ₁, α ₂, … найти такие x ₁, x ₂, …, которые обращают показатель W в максимум.

Перед нами типичная математическая задача на нахождение экстремума, решаемая классическими методами оптимизации. Однако эти методы имеют ограниченное применение по нескольким причинам, в частности:

· когда аргументов x ₁, x ₂, … много (а это типично для задач исследования операций), вычисление частных производных, необходимых для многих методов оптимизации, оказывается достаточно трудоемкой задачей;

· когда на аргументы x ₁, x ₂, … накладываются ограничения, часто экстремум наблюдается не в точке, где производные обращаются в 0, а на границе области возможных решений;

· производные вообще могут не существовать, например, если аргументы изменяются не непрерывно, а дискретно, или же сама функция W может иметь особенности.

Общих математических методов нахождения экстремумов функций любого вида при наличии произвольных ограничений не существует. Однако для случаев, когда функция и ограничения обладают определенным свойствами, существует ряд методов. Например, если показатель эффективности зависитот W от элементов решения линейно x ₁, x ₂, …, и ограничения, наложенные на x ₁, x ₂, …, также имеют вид линейных равенств (или неравенств), то максимум функции W находится с помощью методов линейного программирования. Если эти функции обладают, например, свойствами выпуклости и квадратичности, применяются методы квадратичного программирования. Если операция расчленяется на ряд шагов или этапов, выполняемых во времени, могут быть применены методы динамического программирования.