Мы знаем способ нахождения наибольшего или наименьшего значения функции одной переменной и способ иллюстрации функциональной зависимости с помощью графика. При решении технических задач часто приходится иметь дело с зависимостью исследуемой величины от многих переменных. Например, – функция трех независимых переменных.
Если график функции одной переменной представляет собой плоскую кривую, характеризующую зависимость функции от переменной, то в случае двух переменных такую характеристику зависимости функции () от переменных (и ) выражает поверхность.
Покажем, как изобразить такую поверхность графически, если областью определения функции двух переменных является прямоугольник. Например, построим с помощью пакета программ MAXIMA график функции Для этого введем команду plot3d(x^3-2*y^2,[x,-2,2],[y,-1,1]) инажмем клавиши Shift+Enter. Мы получим следующую картину.
Для графического изображения зависимости функции трех и более переменных понадобилось бы пространство размерности, большей, чем 3. Поэтому такие графические изображения невозможны.
|
|
Следовательно, мы должны познакомиться со способом нахождения наибольшего или наименьшего значения функции нескольких переменных без использования визуальной иллюстрации. Большую роль в исследовании функции нескольких переменных играют частные производные.
Дифференцируемость функции двух переменных в некоторой точке означает, что приращение функции в этой точке отличается от некоторой линейной комбинации приращений каждой из переменных на величину большего порядка малости, чем приращение каждой переменной: где .
Числа A и B, участвующие в условии дифференцируемости, называются частными производными первого порядка и обозначаются
Взять частную производную, например, по переменной x – это значит, считая y постоянной, рассматривать исходную функцию как функцию одной переменной x и взять производную от функции по этой переменной.