Оценка отклонения теоретического распределения от нормального. Асимметрия и эксцесс

Эмпирическим называют распределение относи­тельных частот. Эмпирические распределения изучает математическая статистика.

Теоретическим называют распределение вероятностей. Теоретические распределения изучает теория вероятностей. В этом параграфе рассматриваются теоретические распре­деления.

При изучении распределений, отличных от нормаль­ного, возникает необходимость количественно оценить это различие. С этой целью вводят специальные характери­стики, в частности асимметрию и эксцесс. Для нормаль­ного распределения эти характеристики равны нулю. Поэтому если для изучаемого распределения асимметрия и эксцесс имеют небольшие значения, то можно предпо­ложить близость этого распределения к нормальному. Наоборот, большие значения асимметрии и эксцесса ука­зывают на значительное отклонение от нормального.

Как оценить асимметрию? Можно доказать, что для симметричного распределения (график такого распреде­ления симметричен относительно прямой χ = Μ (Χ)) каждый центральный момент нечетного порядка равен нулю. Для несимметричных распределений центральные моменты не­четного порядка отличны от нуля. Поэтому любой из этих моментов (кроме момента первого порядка, который равен нулю для любого распределения) может служить для оценки асимметрии; естественно выбрать простейший из

его величина зависит от единиц, в которых измеряется случайная величина. Чтобы устранить этот недостаток,

характеристику.

Асимметрией теоретического распределения называют отношение центрального момента третьего порядка к кубу среднего квадратического отклонения:

Асимметрия положительна, если «длинная часть» кри­вой распределения расположена справа от математического

ожидания; асимметрия отри­цательна, если «длинная часть» кривой расположена слева от математического ожидания. Практически оп­ределяют знак асимметрии по расположению кривой рас­пределения относительно мо­ды (точки максимума диффе­ренциальной функции): если «длинная часть» кривой рас­положена правее моды, то асимметрия положительна (рис. 10, а), если слева— отрицательна (рис.10 б).

Для оценки «крутости», т. е. большего или меньшей подъема кривой теоретического распределения по сравнению с нормальной кривой, пользуются характеристи­кой — эксцессом.

Эксцессом теоретического распределения называют ха­рактеристику, которая опре­деляется равенство м

Для нормального рас-

довательно, эксцесс равен нулю. Поэтому если экс­цесс некоторого распре­деления отличен от нуля, то кривая этого распределения отличается от нормальной кривой: если эксцесс положительный, то кривая имеет более высокую и «острую» вершину, чем нормальная кривая (рис. 11, α); если эксцесс отрицательный, то сравниваемая кривая имеет более низ­кую и «плоскую» вершину, чем нормальная кривая (рис. 11,6). При этом предполагается, что нормальное и теоретическое распределения имеют одинаковые матема­тические ожидания и дисперсии.

АВТОР: К.Т.Н., ДОЦЕНТ В.Е.КУПРИЯНОВ

30.01.2012г.