Приближения для дробных возрастов

Таблицы продолжительности жизни

Статистические данные о продолжительности жизни суммируются в таблицах продолжительности жизни, иногда их называют таблицами смертности. Простейшим видом таблиц являются таблицы, содержащие информацию о статистических свойствах времени жизни случайно выбранного человека, относительно которого известен только его возраст. Такие таблицы называют общими или упрощенными. Они позволяют получить общую приближенную картину смертности. Примером таких таблиц могут служить популяционные таблицы, содержащие данные о смертности населения. В принципе для решения любой задачи достаточно знания функции выживания , однако для наглядности в таблицы обычно включают введенные ранее величины:

1) – среднее число живых представителей некоторой группы из новорожденных к возрасту лет.

2) – число представителей группы, умерших в возрасте от до лет.

3) – вероятность смерти в течение года для человека в возрасте лет.

4) – среднее остаточное время жизни.

В качестве шага таблицы обычно рассматривают один год.

Таблицы отбора риска

Очевидно, что статистические свойства продолжительности жизни различны у жителя высокоразвитой страны Запада и жителя бедного африканского государства, поэтому абсолютно общая таблица не представляет реального интереса.

Однако и среди жителей одной страны существуют различные группы людей с разными характеристиками продолжительности жизни. Прежде всего, важно отметить, что смертность среди мужчин в несколько раз выше смертности среди женщин. Вероятно, смертность среди домохозяек меньше, чем среди шахтеров; смертность среди людей, прошедших медкомиссию перед заключением договора страхования, меньше, чем в среднем по стране; смертность среди людей, вышедших на пенсию по болезни, наоборот, выше (конечно, во всех случаях мы должны сравнивать людей в одном возрасте ). Но страховая компания имеет дело не с абстрактными людьми, а с вполне конкретными, относительно которых доступна определенная информация (пол, профессия, перенесенные болезни и т.д.). Поэтому ясно, что компания должна иметь целый спектр таблиц продолжительности жизни для различных групп населения. Такие таблицы называются таблицами отбора риска. Обычно создается несколько базовых таблиц, а многочисленные дополнительные риски учитываются с помощью руководств по андеррайтингу, которые дают соответствующие коэффициенты (или аддитивные надбавки) к базовым тарифам.

Термин «отбор» связан с тем, что люди попадают в группу, для которой составляется таблица, после некоторого отбора. Иногда этот отбор кем-то специально проводится (например, медицинской комиссией перед заключением договора страхования), иногда человек сам отбирает себя (например, при оформлении пожизненной ренты), иногда это происходит по причине внешних обстоятельств (например, при оформлении пенсии по болезни). Смертность среди людей, включенных в такую группу, зависит не только от возраста , но и от того, когда произошел отбор. Рассмотрим, например, людей, успешно прошедших медицинский андеррайтинг и заключивших договоры страхования. Ясно, что вероятность смерти в течение ближайшего года человека из этой группы существенно меньше, чем вероятность смерти в течение ближайшего года случайно выбранного человека в том же возрасте. Более интересно то, что вероятность смерти в течение ближайшего года человека, только что прошедшего отбор, меньше, чем вероятность смерти в течение года человека в том же возрасте, но прошедшего отбор несколько лет тому назад. Например, вероятность смерти мужчины в возрасте 52 года по данным страховой статистики Великобритании 1970–1972 гг. составляет 0,344% для первого года договора, 0,429 – если с момента заключения договора прошел уже год и 0,603%, если договор был заключен 2 или больше лет тому назад.

В связи с этим величины, включенные в таблицы с отбором, имеют два аргумента: один показывает момент отбора , а второй – время , прошедшее с момента отбора. В актуарной математике эту зависимость обозначают . При фиксированном возрасте и моменте отбора величина ничем принципиально не отличается от величины . Поэтому для характеристик продолжительности жизни «отобранных» людей справедливы все приведенные выше результаты, а именно:

1) обозначает условную вероятность смерти в течение года человека в возрасте лет, который лет назад (т.е. в возрасте лет) был отобран в группу;

2) – вероятность того, что человек в возрасте лет, который лет назад (т.е. в возрасте лет) был отобран в группу, проживет еще по меньшей мере год;

3) – вероятность того, что человек в возрасте лет, который лет назад (т.е. в возрасте лет) был отобран в группу, умрет на протяжении ближайших лет;

4) – вероятность того, что человек в возрасте лет, который лет назад (т.е. в возрасте лет) был отобран в группу, проживет еще по меньшей мере лет;

5) – вероятность того, что человек в возрасте лет, который отобран лет назад, проживет лет, но умрет на протяжении последующих лет;

6) – вероятность того, что человек в возрасте лет, который отобран лет назад, проживет лет, но умрет на протяжении следующего года.

Все эти вероятности могут быть выражены через вероятности , например,

, .

Таблицы с отбором ограниченного действия

Статистический анализ показывает, что обычно влияние отбора продолжается неограниченно долго. Однако, как правило, зависимость характеристик смертности от времени, прошедшего с момента отбора, быстро уменьшается и через некоторое время эти характеристики зависят только от достигнутого возраста. Влияние отбора сохраняется в том смысле, что эти характеристики отличаются от популяционных.

Промежуток времени , после которого зависимостью от момента отбора можно пренебречь и рассматривать все характеристики продолжительности жизни только как функции достигнутого возраста, называется периодом действия отбора.

Соответствующая таблица называется таблицей с отбором ограниченного действия. Предельные значения (которые заменяют при ) образуют так называемую предельную таблицу. По своей структуре она является таблицей простейшего типа.

Расчет характеристик смертности среди представителей выделенной группы может быть значительно упрощен, если вместо вероятностей ввести в рассмотрение специальные величины , которые аналогичны величинам из общих таблиц смертности.

Рассмотрим некоторую таблицу с отбором, действующим лет, и определим величины с помощью следующей формулы:

.

Поскольку период действия отбора равен , полагаем , если . Тогда

, ,

, .

Поэтому часто в таблицы с отбором ограниченного действия включаются только величины .

Округленное время жизни определили через точное время жизни и получили ряд формул, выражающих характеристики величины через характеристики . Однако реальная статистика доступна именно для округленного времени жизни , причем только для целых значений (в годах). Это связано как с удобством сбора статистических данных, так и с традиционной формой их представления в таблицах продолжительности жизни, где аргументы принимают только целочисленные значения.

Однако для расчета премий, резервов и других величин, необходимых для ведения страхового дела необходимо знать функцию выживания для всех действительных значений аргумента , а не только для целочисленных. Соответственно возникает задача определения характеристик величины , если известны характеристики величины (причем только для целых значений ). Для целых значений и можно абсолютно точно определить распределение через распределение :

Таким образом, задача может рассматриваться как задача интерполяции. При этом достаточно рассмотреть задачу интерполяции только для функции выживания (поскольку более сложные величины могут быть выражены через ).

В актуарной математике обычно решают эту задачу, постулируя тот или иной вид функции между узлами интерполяции, т.е. получают искомую функцию , склеивая в целочисленных точках более простые функции.

Равномерное распределение смертей

Самой простой является интерполяция линейными функциями:

при

Поскольку значения и – известны, из уравнений

можно определить и :

,

Таким образом, на отрезке функция приближается линейной функцией:

.

Записывая в виде где этой формуле можно придать вид:

Для плотности это приближение дает:

.

Соответственно для интенсивности смертности мы имеем следующее приближение:

С помощью величины (вероятность того, что человек в возрасте лет умрет в течение ближайшего года) эту формулу можно переписать виде:

или, что то же самое,

Одно из наиболее важных следствий предположения о линейной интерполяции функции выживания заключается в следующем. Рассмотрим величину (– целое, ).

Для нее имеем:

Далее, для целого и

Итак, в предположении о линейной интерполяции функции выживания в течение (начальной) части года пропорциональна длине этой части (т.е. ), то для дробных возрастов (между двумя соседними целыми) функция выживания является линейной. Действительно, всегда верны равенства

Поэтому равенство влечет, что

Верно и обратное утверждение, если вероятность смерти в течение (начальной) части года пропорциональна длине этой части (т.е. ), то для дробных возрастов (между двумя соседними целыми) функция выживания является линейной.

Введем теперь случайную величину , равную дробной части величины : . Таким образом, , где – урезанное время жизни. Величина описывает момент смерти внутри года.

Для рассматриваемой интерполяции

1) случайная величина равномерно распределена на ;

2) случайные величины и – независимы.

Постоянная интенсивность смертности

Будем приближать функцию выживания на отрезке показательной функцией . Поскольку значения и известны, из уравнений

можно определить и :

где величина – вероятность того что, что человек в возрасте лет проживет по меньшей мере один год.

Таким образом,

.

Записывая в виде , где этой формуле можно предать вид:

.

Для плотности это приближение даст:

Отсюда для интенсивности смертности мы имеем следующее приближение:

т.е. рассматриваемой интерполяции соответствует предложение о постоянной интенсивности смертности между двумя днями рождений.

Предположение Балдуччи

Предположение Балдуччи внешне похоже на предположение о равномерном распределении смертей, однако, в отличие от последнего, линейными функциями интерполируется . Это приводит к следующим формулам:

Отсюда можно получить явную формулу для на отрезке :

,

где вероятности и были определены ранее как вероятность того, что человек в возрасте лет проживет еще по меньшей мере один год, и вероятность того, что человек в возрасте лет умрет на протяжении этого года, соответственно.

Для плотности это приближение дает:

.

Соответственно для интенсивности смертности имеем следующее приближение:

Одно из наиболее важных следствий предположения Балдуччи заключается в следующем. Рассмотрим величину (– целое, ). Для нее имеем:

Итак, в предположении Балдуччи вероятность смерти до очередного дня рождения пропорциональна времени до этого дня рождения.

Верно и обратное утверждение, если вероятность смерти до очередного дня рождения пропорциональна времени до этого дня рождения (т.е. ), то для вида функции выживания для дробных возрастов (между двумя соседними целыми) верно предположение Балдуччи.