Двоичная система счисления и двоичная арифметика

В двоичной системе счисления с числами можно производить те же действия, что и в десятичной системе счисления. Сложение выполняется по тому же принципу, что и в десятичной системе счисления: только если в данном разряде образуется сумма, которая в нем не умещается, то превышение переносится в следующий старший разряд. Таблица сложения двух однозначных чисел в дво­ичной системе счисления имеет следующий вид:

0+0=0 1+0=1 0+1=1 1+1=10

Из последней строки видно, что десятичное число 2 в двоичной системе счисления имеет вид 10 и является основанием системы счисления. Таблица вычитания двух однозначных чисел в двоичной системе счисления будет:

0-0 = 0 10-1 = 1 1-1=0 1-0=1

И умножение двух однозначных чисел имеет вид:

0x0=0 1x1=1 1х0=0

Пример. Даны два числа в двоичной системе счисления: 11011 и 11011101. Найти их сумму и разность. Запишем решение:

11011 11011101

+ 11011101 - 11011

__________ ____________

11111000 11000010

Пример. Умножение и деление двух чисел

1011,01 10101 | 111

x 101,11- 111 | 11

101101 111

101101 - 111

101101 ­­­­_____

101101 0

1000000,1011

При решении этого примера пона­добилось в каждом разряде найти сумму четырех одноразрядных двоичных чисел. При этом нужно учитывать, что в двоичной систе­ме счисления

1+1+1 = 10+1=11

1+1+1+1= 11+1=100

Перевод числа из двоичной системы счисления в десятичную (обратный перевод) основывается на позиционности двоичной сис­темы.

Например. 10000001001,101₂ будет (1х2⁹ +0х2⁸ +0х2⁷ +0х2⁶ +0х2⁵ +0х2⁴ +1х2³ +0х2² +0x2' +1x2° + 1x2"' +0х2"² +0х2-³)₁₀ = (512+8+1+0,5 +О,125),о= 521,625₁₀

Восьмеричная система счисления

Эта система имеет основание 8. Каждый ее разряд может при­нимать значения от 0 до 7. Перевод целого десятичного числа в восьмеричную систему счисления выполняется методом последова­тельного деления нацело на основание системы счисления, равное 8. Переведем число 19 в восьмеричную системы счисления:

19 | 8

-16 2

Записывая числа с конца получим число 23.

На практике часто пользуются готовыми таблицами перевода чисел из одной системы в другую. Так представление первых 20 чисел натурального ряда в двоичной, десятичной и прочих системах счисления показано в табл. 1.3.